Является ли книга ошибочной в отношении критерия выборки Найквиста?

Является ли следующее утверждение из книги неправильным?

Я думал, что выборка с двойной компонентой наивысшей частоты сигнала будет достаточной для полного восстановления сигнала. Но выше это говорит, что выборка дважды создает пилообразную волну. Книга не так?

Я думал, что выборка с двойной компонентой наивысшей частоты сигнала будет достаточной для полного восстановления сигнала. Но выше это говорит, что выборка дважды создает пилообразную волну. Книга не так?

Книга неверна, но не по той причине, о которой вы думаете. Если вы щуритесь на точках, обозначающих образцы, это означает, что выборка выполняется с удвоенной частотой.

Итак, во-первых, вы должны нарисовать некоторые сигналы и сэмплировать их самостоятельно (или использовать математический пакет, если вы не до карандаша и бумаги).

Во-вторых, теорема Найквиста говорит, что теоретически возможно восстановить сигнал, если вы уже знаете, что спектр содержимого сигнала строго меньше, чем 1/2 частоты дискретизации.

Вы восстанавливаете сигнал путем фильтрации нижних частот. Перед фильтрацией сигнал может быть искажен, поэтому вы должны знать, на что вы смотрите, чтобы увидеть, что результат может выглядеть хорошо. Кроме того, чем ближе спектр содержимого вашего сигнала к пределу Найквиста, тем острее должно быть обрезание в ваших фильтрах сглаживания и восстановления. Это хорошо в теории, но на практике отклик фильтра во временной области становится длиннее примерно пропорционально тому, насколько резко он переходит от своей полосы пропускания к полосе задержания. В общем, если вы можете, вы пробуете намного выше Найквиста.

Вот картинка, которая соответствует тому, что должна была сказать ваша книга.

Случай A: один образец за цикл (образцы сделаны очевидными)

Случай B: две выборки за цикл, посадка на перекрестках - обратите внимание, что это один и тот же результат что и одна выборка на случай цикла, но только потому, что я сделал выборку первой выборки на пересечениях.

Случай C: Опять две выборки за цикл, но на этот раз в крайних случаях. Если образец в точности удвоенной частоте составляющей сигнала, то вы не можете восстановить. Теоретически, вы можете сделать выборку чуть ниже, но вам понадобится фильтр с импульсным откликом, который охватывает достаточно результатов, чтобы вы могли восстановить.

Случай D: выборка в 4 раза больше частоты сигнала. Если вы соединяете точки, вы получаете треугольную волну, но это не правильно - во время выборки выборки существуют только «в точках». Обратите внимание, что если вы проведете это через приличный фильтр реконструкции, вы получите синусоидальную волну, и если вы измените фазу вашей выборки, то выходной сигнал будет смещен одинаково по фазе, но его амплитуда не изменится.

Картинка Б крайне неправильная. Он содержит очень острые углы в выходном сигнале. Очень острые углы равны очень высоким частотам, намного выше частоты дискретизации.

Чтобы выполнить примерные теоремы Найквиста, вам необходимо отфильтровать сигнал низких частот восстановленного сигнала. После фильтрации нижних частот сигнал B будет выглядеть как входной сигнал, а не как треугольник (так как все острые углы не могут проходить через фильтр нижних частот).

Чтобы быть точным, вам нужно пропустить и входной сигнал, и выходной сигнал. Входной сигнал должен быть отфильтрован по нижним частотам до максимальной половины частоты дискретизации, чтобы не «сворачивать» более высокие частоты.

К сожалению, это распространенное искажение того, как работает выборка. Более правильное описание будет использовать функцию sinc для реконструкции (я рекомендую поискать функцию sinc).

В реальных приложениях невозможно иметь «идеальный» фильтр нижних частот (пропуская все частоты ниже и блокируя все выше). Это означает, что вы обычно сэмплируете частоту, по крайней мере, в 2,2 раза превышающую максимальную частоту, которую вы хотите воспроизвести (например: качество CD, сэмплированное с частотой 44,1 кГц, чтобы обеспечить максимальную частоту 20 кГц). Даже это различие затруднит создание аналоговых фильтров - большинство приложений реального мира "сэмплируют", как и фильтр нижних частот, частично в цифровой области.

Теорема выборки гласит, что сигнал может быть полностью реконструирован, если частота дискретизации строго больше, чем содержание самой высокой частоты в сигнале. Но эта реконструкция основана на введении (бесконечных) синус-импульсов в каждом образце. С теоретической точки зрения это очень важный результат, но на практике достичь его невозможно. На странице книги описан метод реконструкции, основанный на рисовании прямых линий между образцами, что является чем-то совершенно другим. Итак, я бы сказал, что книга верна, но она не имеет ничего общего с теоремой выборки.

Очень хороший обзорный документ - Unser: Sampling - через 50 лет после Шеннона . Ваша проблема возникает из-за того, что чистые бесконечные синусоидальные сигналы не охватываются теоремой отсчетов Шеннона. Применимая теорема для периодических сигналов является более ранней теоремой отсчетов Найквиста.

Теорема выборки Шеннона применяется к функциям, которые могут быть представлены как

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

где X - квадратично-интегрируемая функция. Тогда этот сигнал может быть точно представлен из дискретных отсчетов как

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

с $T=\frac1{W}$Период". Обратите внимание, что идеальная реконструкция зависит от выборок из сколь угодно больших времен в будущем и прошлом. Поскольку их влияние падает только как$\frac1t$Усечение суммы должно включать довольно большое количество терминов, чтобы уменьшить количество ошибок.

Чистая функция синуса не содержится в этом классе, поскольку ее преобразование Фурье состоит из дельта-распределений Дирака.

Более ранняя теорема отсчетов Найквиста утверждает (или повторно интерпретирует более раннее понимание), что если сигнал является периодическим с периодом T и наибольшей частотой W = N / T , то это тригонометрический полином

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

с 2N + 1 (нетривиальными) коэффициентами, и эти коэффициенты могут быть восстановлены (по линейной алгебре) из 2N + 1 выборок за период.

Случай чистой синусоидальной функции попадает в этот класс. Это обещает идеальную реконструкцию, если брать 2N + 1 выборок за время NT .

Что было общим из книги не говорит ничего о «Найквиста выборки Критерий» - это говорит только о точке отбора проб синусоиды с гипотетическим АЦП, а затем (неявно) построение выходного сигнала с использованием (не указан) простой ЦАП, который выполняет линейную интерполяцию между значениями выборки.

Учитывая этот контекст, тезис «РИСУНОК 6.10», как правило, является правильным и хорошо продемонстрированным.

По мере увеличения частоты дискретизации АЦП точность воспроизведения оцифрованного сигнала улучшается.

Если вы хотите поговорить о верности идеализированной реконструкции , это совсем другое дело. Любое обсуждение скорости Найквиста подразумевает использование интерполяции sinc, которая, опять же, не упоминается на рисунке.

Настоящим недостатком этой фигуры является идея о том, что точечный образец является значимым понятием в технике. Практически говоря, АЦП будет подключен к компоненту датчика, который работает путем накопления реального входного сигнала в течение некоторого периода времени.

Забавно, однако, что эта цифра, по-видимому, неверна (с коэффициентом два) относительно конкретных частот дискретизации, показанных на диаграммах - хотя показанный «Выход» влияет только на это в случае «C».

Используя приведенное выше утверждение, я нашел очень похожую диаграмму в «Практическом подходе к нейрофизиологическому интраоперационному мониторингу» в дискуссии об обработке сигналов ЭЭГ. Для чего стоит, это обсуждение включает в себя следующее:

Теорема, описывающая минимальную частоту дискретизации, необходимую для АЦП для точного представления аналогового сигнала, известна как теорема Найквиста. В нем говорится, что частота дискретизации АЦП должна быть более чем в два раза выше, чем у самой быстрой частотной составляющей сигнала.