Почему постоянная времени составляет 63,2%, а не 50% или 70%?

30

Я изучаю схемы RC и RL. Почему постоянная времени равна 63,2% от выходного напряжения? Почему он определен как 63%, а не как другое значение?

Схема начинает работать при 63% выходного напряжения? Почему не на 50%?

— Бала Субраманян
источник

41

1-е ^ -1 = 0,6321 ...

— Эндрю Мортон

3

Это совпадает с 1 / пропускной способностью, и это значение времени в лаге первого порядка

или

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

. В радиоактивном распаде они используют 50% («период полураспада»).

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Чу

1

@AndrewMorton: Я не совсем уверен, что это говорит обо мне, я догадался, что это будет ответ только из названия.

— Илмари Каронен

4

@code_monk: так же интересно, как

?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— Номинальное животное

3

Просто ничтожество: постоянная времени не определена как 63%. Он определяется как обратный коэффициент в показателе экспоненциальной функции (см. Отличные ответы в этой теме). Это просто получается, как следствие , что значение величины после промежутка времени , равного постоянной времени находится приблизительно (с точностью до 2- х цифр) 63% от исходной величины.

— Лоренцо Донати поддерживает Монику

64

Другие ответы еще не додумались , что делает е специальное: определение постоянной времени , как время , необходимое на то , чтобы упасть на коэффициент е означает , что в любой момент времени, скорость изменения будет такой that-- если Скорость была продолжена - время, затраченное на ничто, будет постоянной времени.

Например, если один имеет ограничение 1 мкФ и резистор 1 М, постоянная времени будет равна одной секунде. Если конденсатор заряжается до 10 вольт, напряжение будет падать со скоростью 10 вольт в секунду. Если он заряжен до 5 вольт, напряжение будет падать со скоростью 5 вольт в секунду. Тот факт, что скорость изменения уменьшается при изменении напряжения, означает, что напряжение фактически не уменьшится ни к чему за одну секунду, но скорость снижения в любой момент времени будет текущим напряжением, деленным на постоянную времени.

Если бы постоянная времени определялась как любая другая единица (например, период полураспада), то скорость затухания больше не соответствовала бы так хорошо с постоянной времени.

— Supercat
источник

3

Это может быть лучшим ответом, поскольку он отвечает на вопрос « Почему? » Осязаемым образом, вместо того, чтобы показывать « как » рассчитать его.

— Борт

Круто, я не могу поверить, что я никогда не учился этому! (Кстати, график сделает этот ответ еще более удивительным).

— Восстановить Монику

1

Это превосходное интуитивное понимание. +1

— Спехро Пефхани

1

«Скорость снижения в любой момент времени будет текущим напряжением». Я полагаю, что хотя «ток» в этом контексте неоднозначен, оба значения работают.

— накопление

11

@supercat - я добавил график вашего примера. Не стесняйтесь предлагать любые изменения к нему.

— Восстановить Монику

49

Он встроен в математику экспоненциального затухания, связанного с системами первого порядка. Если отклик начинается с единицы в момент времени t = 0, то через одну «единицу времени» отклик составляет . Когда вы смотрите на время роста, вы вычитаете это из единицы, давая 0,63212 или 63,2%. $e^{-1} = 0.36788$

«Единица времени» упоминается как «постоянная времени» системы и обычно обозначается как τ (тау). Полное выражение для ответа системы во времени (t):

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

Таким образом, постоянная времени - полезная величина, которую нужно знать. Если вы хотите измерить постоянную времени напрямую, вы измеряете время, необходимое для достижения 63,2% ее окончательного значения.

В электронике выясняется, что постоянная времени (в секундах) равна R × C в цепи RC или L / R в цепи RL, когда вы используете омы, фарады и Генри в качестве единиц для значений компонентов. Это означает, что если вы знаете постоянную времени, вы можете получить одно из значений компонента, если вы знаете другое.

— Дэйв Твид
источник

1

Для экспоненциального затухания или подъема мы должны использовать пошаговый отклик, чтобы уменьшить сложность. Так что e − 1 принимается во внимание. Я прав?

— Бала Субраманян

@BalaSubramanian: да, верно.

— Дэйв Твид

Но у меня есть одно сомнение, например, в разработке RC цепи для таймера или счетчика. Это разряды и зарядки в определенный период времени. Является ли период времени такой же, как постоянная времени. Требуемая IC или устройство перестает работать при 63% напряжения?

— Бала Субраманян

2

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

11

Распад параллельной RC-цепи с конденсатором, заряженным до Vo

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

$\tau$

Другими словами, постоянная времени определяется произведением RC (или отношением L / R), и, казалось бы, произвольное напряжение является результатом этого определения и способа экспоненциального затухания или зарядки.

Экспоненциальный распад характерен для различных физических процессов, таких как радиоактивный распад, некоторые виды охлаждения и т. Д., И может быть описан с помощью обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (ODE).

Предположим, вы хотите узнать время, когда напряжение составляет 0,5 от начального напряжения (или конечного напряжения при зарядке от 0). Это (сверху)

$\ln(0.5)\tau$

$\tau$

— Спехро Пефхани
источник

10

Это очень грубое приближение.

— Арсенал

1

@ Арсенал Я мог бы использовать MATLAB и получить его до нескольких тысяч знаков после запятой, если хочешь.

— Спехро Пефхани

2

@ Арсенал, я полагаю, 22/7 тебе тоже не подходит? : D

— Wossname

3

22/7 - ужасное приближение к эл. 19/7 намного лучше.

— 1841 года

2

@SpehroPefhany (по отношению к тому приближению, с которым вы связаны) Я всегда поражаюсь, как математики любят проводить свое время (ну, я думаю, кроссворды слишком легки для них! :-)

— Лоренцо Донати поддерживает Монику

3

В дополнение к другим отличным ответам Дейва Твида, суперката и Спехро Фефани, я добавлю свои 2 цента.

Сначала немного придирки, как я написал в комментарии, постоянная времени не определена как 63%. Формально он определяется как обратный коэффициент экспоненты экспоненциальной функции. То есть, если Q является соответствующей величиной (напряжение, ток, мощность, что угодно), а Q затухает со временем как:

Q (T) знак равно Q_{0} е^{- К T} (К > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

Тогда постоянная времени процесса распада определяется как $\tau = 1 / k$ ,

Как уже отмечали другие, это означает, что для $t = \tau$ the quantity has decreased by about 63% (i.e. the quantity is about 37% of the starting value):

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

What other answers have only marginally touched is why that choice has been made. The answer is simplicity: the time constant gives an easy way to compare the speed of evolution of similar processes. In electronics often the time constant can be interpreted as "reaction speed" of a circuit. If you know the time constants of two circuits it's easy to compare their "relative speed" by comparing those constants.

Moreover, the time constant is a quantity easily understandable in an intuitive way. For example, if I say that a circuit settles with a time constant $\tau = 1 \mu s$ , then I can easily understand that after a time $3\tau=3\mu s$ (or maybe $5\tau=5\mu s$ , depending on the accuracy of what you are doing) I can consider the transient ended ( $3\tau$ and $5\tau$ are the most common choices as rules of thumb for the conventional transient duration).

In other words the time constant is an easy and understandable way to convey the time scale on which a phenomenon occurs.

— Lorenzo Donati supports Monica
источник

-1

This comes from the $e$ constant value $1-e^{-1} \approx 0.63$ .

— Matthijs Huisman
источник