Какова частота «Найквиста» для дискретизации производной сигнала?

Фон: я измеряю ток через конденсатор. Интересующим сигналом является напряжение на конденсаторе. Я буду в цифровой форме интегрировать измерения тока, чтобы получить напряжение.

Вопрос: Учитывая, что напряжение на конденсаторе ограничено полосой пропускания, и я делаю выборку производной от этого напряжения, какова минимальная частота дискретизации, необходимая для идеальной реконструкции сигнала напряжения из текущих выборок?

Если на этот вопрос нет постоянного ответа, было бы полезно все, что могло бы указать мне правильное направление. Спасибо заранее за любую помощь!!

Получение производной (или интеграла) является линейной операцией - она ​​не создает никаких частот, которых не было в исходном сигнале (или не удаляет их), а просто изменяет их относительные уровни.

Таким образом, коэффициент Найквиста для производной такой же, как и для исходного сигнала.

Взятие производной умножает преобразование на s, которое эффективно поворачивает график величины против часовой стрелки. Таким образом, вполне могут быть высокочастотные составляющие в производной. Более краткий способ выразить это заключается в том, что деривация усиливает высокочастотное содержимое.

$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ])) 

$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ])) 

Производная в этом случае явно имеет более высокие частотные составляющие. Возможно, более правильно, он имеет гораздо большие высокочастотные компоненты, чем непроизводные. Можно с некоторой уверенностью выбрать выборку первого сигнала со скоростью 200 рад / с, поскольку при скорости Найквиста энергия очень мала, но сглаживание будет существенным, если вы производите выборку производной с той же скоростью.

Таким образом, это зависит от характера сигнала. Производная синусоиды будет синусоидой той же частоты, но производная ограниченного по полосе шума будет иметь более высокие частотные составляющие, чем шум.

РЕДАКТИРОВАТЬ: В ответ на downvote, я забью этот дом на конкретном примере. Позвольте мне взять синусоидальную волну и добавить к ней случайный нормальный шум (одну десятую величины синусоидальной волны).

БПФ этого сигнала:

Теперь позвольте мне взять производную сигнала:

и БПФ производной

Разбор проб, конечно, будет псевдонимом либо сигнала, либо производного. Эффект недостаточной дискретизации будет скромным для сигнала, а результат недостаточной дискретизации производной будет абсолютно бесполезным.

Ты не можешь

Интеграция расскажет вам только о том, как изменяется напряжение в течение времени, когда вы выполняете выборку.

Конденсатор всегда будет запускаться при наличии некоторого заряда, поэтому будет некоторое начальное напряжение. Ваш расчет не может знать это напряжение, поэтому он не может знать фактическое напряжение на конденсаторе во время вашего измерения. Это должно быть знакомо по классам математики - вы всегда объединяете две точки.

У вас также есть проблема в том, что, хотя ваши текущие выборочные измерения ограничены по Найквисту, фактический ток через конденсатор может не быть. Если вы не можете гарантировать, что ток через конденсатор имеет жесткий фильтр нижних частот где-то ниже предела Найквиста, вы никогда не сможете измерить ток достаточно точно, чтобы воспроизвести напряжение. Мне нужно прояснить, что это на самом деле математически невозможно, потому что это потребует частоты дискретизации бесконечности.

Но если вы знаете начальное напряжение и если фактический ток через конденсатор соответственно фильтруется по нижним частотам, то DaveTweed прав, что предел Найквиста для интеграла такой же, как и для выборочных данных.