Почему в пассивной цепи с синусоидальным входом все напряжения и токи имеют то же синусоидальное поведение, что и вход?

14

Мне известно, что в любой цепи, состоящей из линейных пассивных элементов и синусоидального входа, все напряжения и токи, проходящие через и через любой элемент, будут демонстрировать то же синусоидальное поведение и частоту, что и вход; Вот как на самом деле работают пассивные фильтры. Но я не могу понять или найти конкретное / прямое доказательство того, почему это происходит, если не просто наблюдение.

circuit-analysis passive-filter passive-components

— mjtsquared
источник

Вы можете доказать для каждого рассматриваемого компонента . Каждый компонент имеет четко определенное поведение.

— Евгений Ш.

1

Мать любит природу синусоиды. Например, в конденсаторе ток в конденсаторе прямо пропорционален скорости изменения напряжения на его пластинах. I = C * dV / dt. Таким образом, если напряжение является синусоидальным сюрпризом, сюрпризом производной синусоидальной волны является косинусоида (синусоидальная фазовая волна). Итак, мать-природа должна любить синусоидальную волну. То же самое верно для индуктора V = L * dI / dt. И если напряжение представляет собой синусоидальную волну, то ток представляет собой косинусную волну.

— G36

2

Я знаю, что нам не нравится веселье ™, но ваша лекция о том, как природа природы любит синусоидальную волну, только что сделала мой день.

— dlatikay

Используя температурные коэффициенты резисторов и общее тепловое сопротивление (резистор, трассу печатной платы, болты для отвода тепла от печатной платы), вы найдете IP3 (точка пересечения искажения 3-го порядка) резистора для поверхностного монтажа, значение которого составляет 100000 Ом. 1000 вольт. Конечно, это рассеивание 10 Вт в резисторе SMT.

— analogsystemsrf

2

О каких пассивных элементах вы говорите? Диоды пассивны, но я буду проклят, если вы сможете извлечь из них синусоиды ...

— user541686

23

Я выкладываю себе мозги и в итоге нашел хороший математический подход, чтобы доказать это, и решил ответить на свой вопрос. В такой схеме решение для любого напряжения / тока через / через любой компонент (я назову это ) всегда приведет вас к построению дифференциального уравнения, которое всегда линейно, с постоянными коэффициентами (из-за линейных свойств пассивных компонентов) и неоднородный (из-за синусоидального ввода). Такое дифференциальное уравнение всегда будет иметь следующий вид: $f$ где- это константы (комбинации индуктивности, сопротивления и т. д.),- порядок дифференциального уравнения (который отражает количество элементов накопления энергии в цепи), а- обобщенная синусоидальная функция это описывает вход. Общее решение этого дифференциального уравнения всегда будет иметь вид:

a \frac{d^{n} f}{d t^{n}} + b \frac{d^{n - 1} f}{d t^{n - 1}} + . . . + j \frac{d f}{d t} + k f = C \sin (ω t + θ)

$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$

a . . . k

$a...k$

n

$n$

C \sin (ω t + θ)

$C\sin{(\omega t+\theta)}$

где частное решение

которое является синусоидальной функцией той же частоты! Теперь при анализе цепей переменного тока мы всегда смотрим на схему в устойчивом состоянии, когда однородное решение приближается к нулю (что неизбежно происходит из-за сопротивлений в цепи).

f = (general homogeneous solution) + (particular solution)

$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$

= A \sin (ω t + θ) + B \cos (ω t + θ)

$=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

— mjtsquared
источник

2

Мы не заслуживаем таких как ты. Человек, который задает хороший и хорошо написанный вопрос, а затем делает хороший ответ.

— Гарри Свенссон

13

Для будущих читателей стоит отметить, что требование к линейности схемы не указано в исходном вопросе, но требуется для применения этого решения (и для того, чтобы результат был правильным). Другой способ сказать, что синусоиды (и экспоненты) являются собственными функциями оператора производной.

— Фотон

Проще говоря: если производная синуса имеет ту же частоту, то производная ЛЮБОГО порядка имеет ту же частоту.

— Роланд

Как ваш постулат обращается к условию идеального, резонансного LC-контура, где преобразование = 0?

— Гленн W9IQ

1

Выход резонансного LC-контура - это всего лишь две синусоиды, которые точно компенсируются. К счастью, нет такой вещи, как идеальная схема LC для синусоид, которая бы точно подавляла, поэтому выход - это просто синусоида с очень маленькой амплитудой.

— mjtsquared

11

Это верно только для цепей LTI (линейно-инвариантного времени). Если у вас есть неидеальный компонент (и все они в той или иной степени), вы увидите гармоники входной частоты на выходе. Индукторы имеют тенденцию быть худшими из всего, но все пассивные части имеют такое поведение. Например, конденсаторы могут демонстрировать сильный коэффициент напряжения и не являются постоянными во времени из-за диэлектрического поглощения.

Чтобы получить прямое (предполагая, что математическое знание примерно на 2-м курсе университета) математическое доказательство, вы можете прочитать эти заметки по курсу Беркли (EECS20N: Сигналы и системы). Вы можете скачать весь текст здесь .

— Спехро Пефхани
источник

Действительно ли индукторы худшие из всего? Некоторые материалы сердечника, безусловно, очень нелинейны, но, по крайней мере, воздушные тороидальные индукторы HF должны быть очень линейными.

— оставил около

@ leftaroundabout Я полагаю, что керамические конденсаторы позволяют им заработать деньги. Индукторы имеют тенденцию быть менее идеальными в линейном режиме из-за сопротивления провода.

— Спехро Пефхани

Если это верно в случае цепей LTI, как вы относитесь к условию идеальной, резонансной цепи LC, где преобразование = 0?

— Гленн W9IQ

7

Это происходит потому, что синусоида - это всего лишь одна линия в частотном спектре, и независимо от того, что вы делаете с ней, используя линейный фильтр или усилитель, все, что происходит, - это сдвиг фазы или амплитуды.

Если бы это была прямоугольная волна (бесконечные гармоники), то применение фильтра ослабило бы или усилило некоторые частоты больше, чем другие, и прямоугольная волна потеряла бы свою узнаваемую квадратную форму.

Квадратные волновые гармоники: -

Gif источник

— Энди ака
источник

если прямоугольная волна похожа на яблоко, синусоидальный входной сигнал похож на апельсин

— Роланд

6

Основная причина заключается в том, что составляющие уравнения идеальных компонент R, L и C являются линейными, инвариантными по времени уравнениями, включающими только производные и интегралы (обе линейные операции), и что синус и косинус изменяются на другие синусы и косинусы при воздействии на такие линейные операторы.

Производная и интеграл синусоидальной функции - это другая синусоидальная функция той же частоты (она может изменяться только по амплитуде и фазе). KCL и KVL могут привести только к алгебраическим суммам таких синусоидальных функций, и эта операция может производить только другую синусоидальную функцию. Итак, в конце концов, когда вы подключите R, L и C в сеть, синусоидальный вход всегда будет приводить к синусоидальному выходу.

Смотрите мой другой ответ здесь .

Все это является прямым следствием автомодельности экспоненциальной функции (связанной с синусами и косинусами по уравнению Эйлера). Возможно, вы захотите прочитать первую главу в Giorgi, Физика волн, чтобы получить полное объяснение этого.

$t=-\infty$ $t=+\infty$ $A \ x = \lambda \ x$ $\lambda$ Это сложный скаляр, несущий информацию о затухании и сдвиге фаз), называемый характеристическими, или собственными, или собственными решениями систем. Их можно использовать для построения ортогонального базиса с тем свойством, что любая другая (с хорошим поведением) функция может быть разложена как обобщенная сумма таких элементарных кирпичей - и это приведет вас прямо к территории ряда Фурье, но это уже другая история).

Краткое объяснение дается в первом ответе на этот вопрос по математике SE: почему мы используем функции триггера в преобразованиях Фурье, а не другие периодические функции?

$e^{iωx}$ $S_h$ $f(x)$ $f(x−h)$ $e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$ $x∈R$

— Средни Ваштар
источник

«Итак, в конце концов, когда вы подключите R, L и C в сети, синусоидальный вход всегда будет приводить к синусоидальному выходу». с заметным исключением резонансной LC-цепи с выходом 0 - не синусоида.

— Гленн W9IQ

Вы имеете в виду A sin (wt + fi) для A = 0? Все еще синусоида, слишком маленькая, чтобы ее можно было оценить. То же самое касается размещения двух одинаковых синусоидальных генераторов друг против друга.

— Средний Ваштар

0

Это верно только при ограничении пассивных элементов R, L, C и, возможно, кристаллами, которые управляются должным образом - и даже тогда есть два исключения, см. Ниже. Преднамеренные и непреднамеренные диоды, варисторы, термисторы с тепловой массой и другие нелинейные элементы могут быстро вносить искажения в чисто синусоидальные входы. Перегруженные кристаллы или керамические фильтры также могут вести себя довольно нелинейно. Если в пассивную категорию включить двухконтактные элементы с отрицательным сопротивлением (газоразрядные трубки, туннельные диоды), существует еще больше возможностей.

Исключения:

Части реального мира, как правило, имеют недостатки, которые заставляют их вести себя как некоторые нелинейные элементы. Резисторы могут иметь «термистор с тепловой массой» и даже «варистор». Конденсаторы могут иметь зависимость напряжения от их величины из-за пьезоэлектрических эффектов, электрических полей, создающих механическую силу, химических эффектов (в электролитике). Кроме того, некоторые электретоподобные эффекты, похоже, документированы для конденсаторов. Соединения металл-металл могут развить диодоподобное поведение. Индукторы могут стать нелинейными из-за насыщения сердечника, взаимодействия магнитного поля с близлежащими металлическими предметами и т. Д.

Все резистивные компоненты, несущие ток, демонстрируют некоторые характеристики генерации шума, нижние пределы которых определяются жесткой физикой.

Имейте в виду, что все реальные, казалось бы, несинусоидальные, повторяющиеся сигналы могут быть прекрасно описаны как сумма синусоидальных волн различной частоты и фазы.

Если вы ищете связь с природой, вы будете ходить по кругу: синусоиды являются основным ингредиентом в создании кругов, овалов и круглых вещей, согласно математическим гикам (если вы хотите нарисовать круг на компьютере, вы обычно будете использовать синус) / косинус функции или использовать теорему Пифагора непосредственно каким-то образом ...). Природа делает много круглых вещей (волосы, стебли растений, вишни, вишневые пятна, торнадо и т. Д.) И поддерживает достаточное количество синусоидальных волн для этой цели.

— rackandboneman
источник

Ваш ответ был до добавления «линейного» вопроса. Да, на практике большинство вещей не ведут себя совершенно линейно. Но также и идеальные синусовые сигналы трудно найти в реальном мире. Помидор не является идеальным кругом, равно как и планета Земля или ее орбита. Практические сигналы действительно хороши для моделирования с использованием multipleсинусов.

— Роланд

1

На самом деле идеальный синус невозможно найти в реальном мире. Вам нужно, чтобы он бежал от времени

- \infty

$-\infty$ в

+ \infty

$+\infty$ и хотя направление «плюс» может быть спорным, для минусовой части мы ограничены возрастом вселенной.

— Средний Ваштар

Я знаю, что ограниченный по времени синус, по сути, имеет гармоники :)

— rackandboneman

0

«Схема» обычно считается сетью компонентов с портом «вход» и «выход». С помощью теории сетей, такой как закон Ома, вы можете получить уравнение, «передаточную функцию», которое описывает выходные данные в терминах входных данных. С «линейными» компонентами вы всегда найдете «линейную» передаточную функцию.

Давайте опишем некоторые линейные компоненты с такими функциями, как output = F(input), output2 = G(input2)и т. Д. Затем комбинация таких компонентов приводит к комбинированной функции, как output2 = G(F(input1)). Поскольку обе функции линейны, то есть имеют форму y = a * x + b, то эти комбинации также линейны.

При подаче синусоидального входного сигнала в линейную сеть выходной сигнал может быть усилен с коэффициентом a и сдвинут на напряжение b. С помощью сложных математических или дифференциальных уравнений вы можете даже получить «сдвиг фазы», но не другую частоту, потому что производная синуса имеет ту же частоту.

Вы хотите, чтобы это было еще более формальным?

— Roland
источник

0

Либо ваша предпосылка неверна, либо вы не правильно сформулировали граничные условия.

Рассмотрим простое пассивное устройство, такое как диод. Он будет демонстрировать нелинейную передаточную характеристику, приводящую к несинусоидальному выходу для данного

Также рассмотрим идеальный резонансный (LC) контур с передаточной функцией, обеспечивающей нулевой выходной сигнал, то есть несинусоидальный.

— Гленн W9IQ
источник

2

Да, теперь он добавил линейный к вопросу.

— труба

1

На самом деле, нелинейные устройства веселее. С помощью этого простого диода вы можете, например, демодулировать радиосигналы (кристаллический приемник)

— Roland

0

Собственные функции линейных инвариантных по времени систем (а пассивные сети, как правило, относятся к этому виду) являются сложными экспонентами, а их действительные суперпозиции - это синоиды произвольной фазы.

Собственная функция - это функция, которая будет изменяться только постоянным (в данном случае комплексным) фактором при прохождении через систему. Линейные системы - это те, в которых выходные данные, соответствующие сумме нескольких входных данных, соответствуют сумме выходных данных отдельных входных данных, поэтому вы всегда можете проанализировать их, выразив их входные данные в виде удобной суммы. Если эта сумма может быть суммой, выраженной в основе ортогональных собственных функций, все становится намного проще.

Привет анализ Фурье.