Внутреннее сопротивление батареи

Я пытаюсь выяснить, где я ошибся по следующей проблеме:

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Две батареи идентичны, и каждая имеет напряжение холостого хода 1,5 В. Лампа имеет сопротивление 5 когда горит . При замкнутом выключателе на лампе измеряется 2,5 В. Каково внутреннее сопротивление каждой батареи?$\Omega$

(Задача 2.1 у Агарвала и Ланга, Основы аналоговых и цифровых электронных схем ). Запишите ответ, напечатанный на обратной стороне книги: 0,5 .$\Omega$

Вот мое решение:

Шаг 1

Используйте закон элемента, чтобы найти ток, , через лампочку. v = i R → i 1 = ${i}_{1}$

$$v=iR \rightarrow {i}_{1} = \frac{v}{{R}_{bulb}}=\frac{2.5V}{5\Omega}=\frac{1}{2}A.$$ Шаг 2

Смоделируйте внутреннее сопротивление каждой батареи как резистор. Укажите эквивалентное сопротивление двух резисторов последовательно.

$${R}_{eq}={R}_{1}+{R}_{2}=2{R}_{n}$$ Шаг 3

Согласно закону напряжения Кирхгофа, разность потенциалов на двух батареях должна быть равна и противоположна разности потенциалов на лампе. Я комбинирую закон элементов с приведенным выше выражением следующим образом:

$$v={i}_{2}{R}_{eq} \rightarrow {R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{2}} (eqn. 1)$$ Шаг 4

По закону Кирхгофа сумма токов в любом узле равна нулю.

$${i}_{1}-{i}_{2}=0 \rightarrow {i}_{2}={i}_{1} (eqn.2)$$ Шаг 5

Объединить уравнения 1 и 2, чтобы найти , внутреннее сопротивление одной батареи. R n = ${R}_{n}$

$${R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{1}}=2.5\Omega$$

Вывод

После размышления над постановкой проблемы, особенно с частью напряжения разомкнутой цепи, я знаю, что совершаю некоторую логическую ошибку. Однако я просто не могу увидеть это самостоятельно. Где я неправ? Не следует ли мне представить, что внутреннее сопротивление батарей можно смоделировать как резистор? Будет ли энергетический подход лучше подходить для этой проблемы?

Я думаю, что ваше заблуждение происходит в шаге 3:

Согласно закону напряжения Кирхгофа, разность потенциалов на двух батареях должна быть равна и противоположна разности потенциалов на лампе. Я объединяю закон об элементах с приведенным выше выражением следующим образом [...]

Это неверно или, по крайней мере, написано недостаточно точно. Может быть, вам следует нарисовать полную схему, чтобы ее было легче понять:

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Теперь примените закон напряжения:

$$V(BAT1) + (-I\times R1) + V(BAT2) + (-I\times R2) + (-I\times R(LAMP1)) = 0$$ $$2 V_{bat} - I\times 5\ \Omega = 2 I\times X$$ $$\frac{V_{bat}}{I} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$\frac{1,5\ V}{0,5\ A} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$X = 0.5\ \Omega$$

Я пропустил ток через измеритель напряжения (предполагается, что он идеален), поэтому нет необходимости применять закон токов, поскольку в контуре протекает только один известный ток.

Вы сделали это слишком сложным. Ток батареи составляет 0,5А, как вы сказали. Это 0,5 А вызывает падение напряжения батареи на 0,5 В из-за комбинированного последовательного сопротивления батарей. Мы можем просто использовать закон Ома. Vdrop = Ibatt * Rbatt.

Итак, Rbatt = 0,5 В / 0,5 А = 1 Ом. Но это объединенное последовательное сопротивление. Таким образом, каждая батарея вносит 0,5 Ом в общую сумму.

Ошибка в анализе в уравнении 1. Правильное уравнение,

$V_{Bat1}+V_{Bat2}-i_2R_{eq}=v$

Следует отметить, что внутреннее сопротивление возникает из-за подвижности электролита, концентрации, площади поверхности электродов и длины между электродами. Напряжение возникает из-за окислительно-восстановительных потенциалов электродов, и для концентрации существует уравнение Нернста.