Будет ли треугольная волна иметь конечные или бесконечные синусоидальные компоненты?

22

Прерывистость приводит к тому, что сигнал имеет бесконечные синусоидальные компоненты, но треугольная волна является непрерывной, я взял класс, в котором инструктор сказал, что, поскольку треугольная волна является непрерывной, она может быть представлена конечным числом синусоидальных компонентов, а также показала конечное сложение множества частот синусоид, которые придают форму чистой треугольной волны.

Единственная проблема, которую я имею в виду, заключается в том, что производная треугольной волны не является непрерывной, поскольку она представляет собой прямоугольную волну и, следовательно, потребует бесконечной суммы синусоид, поэтому, если получить обе стороны формулы ряда Фурье от треугольной волны , мы получили бы прямоугольную волну, показанную как сумма конечного числа синусоид. Не будет ли это неправильно?

fourier

— Сайед Мухаммед Асхад
источник

10

Волна треугольника имеет бесконечный ряд Фурье. Помните, что учителя ошибаются.

— аутистическое

Что сказал твой инструктор, когда ты спросил его?

— Солнечный Майк

5

@Syed Мухаммед Асхад: ваши рассуждения с производной верны. Может быть, у вас есть лучшее понимание вопроса, чем ваш инструктор.

— Творог

6

Фактически, чтобы иметь конечный ряд Фурье, функция и ВСЕ ее производные должны быть непрерывными. Все производные синусоиды являются непрерывными, и это также верно для любой конечной суммы синусоид.

— Дэйв Твид

1

Не ответ, но: ряды Фурье с конечными коэффициентами очень ограничительны. Большинство периодических функций имеют бесконечные ряды Фурье. Однако чем плавнее функция, тем быстрее затухание коэффициентов на бесконечности. Если функция в k раз дифференцируема с ограниченной производной, то ее коэффициенты Фурье (c_n) затухают так же быстро, как 1 / n ^ (k + 1), что видно по индукции. Для аналитических функций (функций со сходящимися рядами Тейлора, т. Е. Даже более гладких, чем бесконечно дифференцируемые) затухание является экспоненциальным. У треугольника есть ряд Фурье, который точно равен 1 / n ^ 2.

— Александр С.

21

волна треугольника непрерывна

Цитата отсюда : -

Треугольная волна не имеет скачкообразных скачков, но наклон меняется прерывисто дважды за цикл

Прерывистое изменение наклона также означает бесконечный диапазон синусоидальных компонентов.

Например, если вы интегрировали прямоугольную волну во времени, вы создаете треугольную волну, но все гармоники исходной прямоугольной волны все еще присутствуют после временной интеграции: -

— Энди ака
источник

Если бы думал то же самое, graohical представление помогло много, спасибо :)

— Сайед Мохаммад

21

инструктор сказал, что, поскольку волна треугольника является непрерывной, она может быть представлена конечным числом синусов

Вы либо не поняли это правильно, либо ошиблись инструктором. Недостаточно, чтобы сам сигнал был непрерывным, но все производные также должны быть непрерывными. Если в какой-либо производной есть разрыв, то повторяющийся сигнал будет иметь бесконечный ряд гармоник.

Треугольник является непрерывным, но его первая производная представляет собой прямоугольную волну, которая не является непрерывной. Таким образом, треугольная волна имеет бесконечный ряд гармоник.

— Олин Латроп
источник

1

Нет, не ошибся, и при этом он не ошибся, потому что он сказал это дважды, а также спросил у класса позже, что он сказал, и именно то, что я думал :)

— Сайед Мохаммад

@SyedMohammadAsjad вы оба правы. Из гугла; опечатка: «выражать себя недостаточно ясно или точно». Я думаю, что один из вас использует «недостаточно ясный», а другой - «недостаточно точный».

— ух,

Хотя формулировка этих ответов несколько предполагает это, тот факт, что все производные существуют (и, следовательно, являются непрерывными, благодаря наличию следующей производной), все еще далек от того, чтобы иметь конечный ряд Фурье. Большинство рядов Фурье для периодических сигналов, однако гладких (класс $ \ mathcal C ^ \ infty $ или даже аналитических) имеют бесконечно много ненулевых компонент; трудно придумать описание тех, которые не являются ничем иным, как «конечными суммами синусов и косинусов». Все, что подразумевает гладкость, это то, с какими коэффициентами они стремятся к 0.

— Марк ван

кирпичный фильтр может сделать число гармоник конечным, и он все равно выглядит / \ / \ / \ / \ / \ / тринагулярным, по крайней мере, с 20, далеко от инфинте

— Тони Стюарт Саннискигюй EE75

11

Математическое доказательство:

Возьмем функцию, составленную из взвешенной суммы конечного ряда компонентов синуса / косинуса.

Его производная также является взвешенной суммой конечного ряда синус / косинус компонентов. То же самое, если вы производите любое количество раз.

Поскольку синус и косинус непрерывны, функция и все ее производные непрерывны.

Таким образом, функция, имеющая разрыв в любой из ее производных, не может быть построена с помощью конечного ряда синусоидальных и косинусных компонентов.

— peufeu
источник

Именно то, что я думал, спасибо :)

— Сайед Мухаммед

Должно быть "синус и косинус гладкие", а не просто непрерывные - но суть правильная, конечная сумма синусов и косинусов гладкая, поэтому не может иметь разрывов ни в одной из своих производных

— безразлично

1

@nimish Он доказывает, что все производные являются конечными суммами (со) синусов, поэтому ему нужна только непрерывность (со) синусов, а не гладкость :-)

— yo

Да, пропустил это. Хотя из аналитичности $ \ exp (z) $ для $ z \ in \ mathbb {C} $, в любом случае это следует тривиально.

— Nimish

Престижность для математического ответа, который объясняет математику вместо того, чтобы просто вставить ее!

— ух,

7

Хороших ответов здесь предостаточно, но это действительно зависит от вашей интерпретации «может быть представлен» .

Нужно понимать, что треугольная волна - это теоретическая математическая конструкция, которая на самом деле не может существовать.

Математически говоря, чтобы получить чистую треугольную волну, вам понадобится бесконечное число гармонических синусоид, но чтобы получить представление о треугольной волне, большинство из этих компонентов слишком малы, чтобы затеряться в фоновом шуме системы, или имеют такую высокую частоту, чтобы больше не передаваться.

Таким образом, на практике вам требуется только конечное число, чтобы получить полезное представление. Насколько хорошо вы хотите, чтобы это представление диктовало, сколько гармоник вам нужно использовать.

— Trevor_G
источник

1

Это действительно одна из вещей, на которые стоит обратить внимание, я, конечно же, спрошу своего учителя, имел ли он в виду, что, поскольку вы правы, в действительности мы вообще не идем на бесконечные частоты, даже в прямоугольную волну (которая чистый квадрат) :)

— Сайед Мохаммад

Хотя вы правы в том, что треугольная волна - это математическая конструкция, ваши рассуждения ошибочны. Тот факт, что вы не можете сделать это из конечного числа гармоник, не является доказательством того, что вы не можете сделать это вообще.

— лет»

@yo 'действительно, это одна из тех вещей, с которыми я думаю, что многим из нас тяжело. Если треугольная волна = бесконечное число синусоидальных волн в какой-то момент, вы не можете добавлять или пропускать гармоники. Если это просто треугольная волна ... генерируемая какими-то другими средствами ... тогда что ... как вы ее передаете ... и как вещь, которая передает ее, узнает разницу ... дает мне головную боль мышления об этом .. По сути, даже если это всего лишь небольшой отрезок провода или следа от печатной платы ... он не может не искажать его.

— Trevor_G

1

Разница между математическим идеалом и реальным миром, в двух словах.

— peterG

3

Другой подход.

Давайте назовем x (t) треугольной волной, а y (t) - ее производной, которая является прямоугольной волной и, следовательно, прерывистой.

Если бы x (t) было конечной суммой синусоидальных сигналов, ее производная по линейности этой операции была бы конечной суммой производных синусоидальных сигналов, то есть опять-таки конечной суммы синусоидальных сигналов.

Но этот последний сигнал не может быть прямоугольной волной y (t), потому что конечная сумма синусоидальных сигналов непрерывна. Отсюда и противоречие.

Следовательно, x (t) должно иметь бесконечные компоненты Фурье.

— Лоренцо Донати поддерживает Монику
источник

2

Я предлагаю гораздо более простой тест для практического применения. Если волна имеет острые углы, для ее построения необходимы бесконечные синусоидальные компоненты.

Зачем? Потому что конечный ряд синусоидов не может составить острый угол. Это доказывается по индукции по правилу разложения сумм (то есть Σ (a + b) = Σ a + Σ b для всех конечных сумм и всех безусловно сходящихся бесконечных сумм).

— Джошуа
источник

1

Множество функций, которые могут быть выражены конечным рядом Фурье:

F знак равно {е (Икс) знак равно a_{0} + Σ_{N}^{N \in N} (a_{N} соз N Икс + б_{N} грех N Икс)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

Для всех конечных множеств индексов N . Срок-по-перспективе дифференциации показывает , что производная (1) непрерывна и (2) и в F . Так как производная треугольной волны не является непрерывной, функция треугольной волны не в F .

Это доказательство базируется разрыв, но большинство непрерывных функций также не принадлежат F . Поскольку никакая полиномиальная или экспоненциальная функция не может быть выражена в виде конечной суммы синусов и косинусов, единственными членами F являются те, которые записаны явно в форме выше.

— Джаред Гогуэн
источник