Что такое гармоники и как они «появляются»?

Прочитав так много источников в Интернете, я до сих пор не могу понять, почему разные волновые формы имеют гармоники.

Например: при разработке схемы глупой амплитудной модуляции (АМ), которая помещает прямоугольную волну от микроконтроллера в антенну, как генерируются гармоники? Сигнал просто «включен» или «выключен», как появляются первая, третья и пятая гармоники и почему они становятся слабее?

Я слышал, что осциллографы могут измерять с точностью до пятой гармоники прямоугольной волны (или чего-то подобного), но почему это делает чтение другим? Являются ли эти гармоники несущественными в таких вещах, как передача данных (высокий = 1, низкий = 0), и имеют значение только в таких ситуациях, как аудио или RF?

Почему синусоидальные волны не имеют столько гармоник? Потому что форма волны всегда движется и не плоская, идущая вверх (треугольник) или горизонтальная (квадрат), а круговая с постоянно меняющимся значением?

Синусоидальные волны не имеют гармоник, потому что именно синусоидальные волны, которые в совокупности могут создавать другие формы волны. Основная волна - это синус, поэтому вам не нужно ничего добавлять, чтобы сделать ее синусоидальным сигналом.

Про осциллограф. Многие сигналы имеют большое количество гармоник, некоторые, как прямоугольная волна, в теории бесконечны.

Это частичная конструкция прямоугольной волны. Синий синус, который показывает 1 период, является основным. Тогда есть третья гармоника (у прямоугольных волн нет даже гармоник), фиолетовая. Его амплитуда составляет 1/3 от основной, и вы можете видеть, что она в три раза превышает частоту основной, потому что она показывает 3 периода. То же самое для пятой гармоники (коричневый). Амплитуда составляет 1/5 от основной и показывает 5 периодов. Добавление их дает зеленую кривую. Это еще не хорошая прямоугольная волна, но вы уже видите крутые края, и волнистая горизонтальная линия в конечном итоге станет полностью горизонтальной, если мы добавим больше гармоник. Так вот, как вы увидите прямоугольную волну на прицеле, если будет показана только пятая гармоника. Это действительно минимум, для лучшей реконструкции вам понадобится больше гармоник.

Как и любой несинусоидальный сигнал, AM-модулированный сигнал создает гармоники. Фурье доказал, что каждый повторяющийся сигнал может быть разложен на фундаментальную (ту же частоту, что и форма волны) и гармоники, частоты которых кратны фундаментальной. Это относится даже к неповторяющимся сигналам. Поэтому, даже если вы не видите, как они выглядят, анализ всегда возможен.

Это основной АМ-сигнал, а модулированный сигнал является произведением несущей и сигнала основной полосы частот. В настоящее время

$sin(f_C) \cdot sin(f_M) = \dfrac{cos(f_C - f_M) - cos(f_C + f_M)}{2}$

Таким образом, вы можете видеть, что даже произведение синусов можно выразить как сумму синусов, то есть оба косинуса (их гармоника может быть смещена по фазе, в данном случае на 90 °). Частоты и являются боковыми полосами слева и справа от несущей частоты .$(f_C - f_M)$$(f_C + f_M)$$f_C$

Даже если ваш сигнал основной полосы является более сложным, вы можете разделить модулированный сигнал на отдельные синусоиды.

Ответ Pentium100 довольно полный, но я бы хотел дать более простое (хотя и менее точное) объяснение.

Причина, по которой синусоиды имеют (в идеале) только одну гармонику, заключается в том, что синус - это «самый плавный» периодический сигнал, который вы можете иметь, и поэтому он является «лучшим» с точки зрения непрерывности, выводимости и т. Д. По этой причине удобно выражать волновые формы в виде синусоидальных волн (вы можете сделать это и с другими волнами, а также с ).$C^{\infty}$

Просто пример: почему в воде вы обычно видите изогнутые волны? (ради этого игнорируйте эффект пляжа или ветра) Опять же, это потому, что форма требует меньше энергии для формирования, так как все скаты и края гладкие.

В некоторых случаях, например, орган Хаммонда , синусоиды фактически используются для составления сигнала, потому что при разложении возможно синтезировать много (практически всех) звуков.

Есть красивая анимация от LucasVB, объясняющая разложение Фурье прямоугольной волны:

Эти изображения лучше объясняют разложение прямоугольной формы по гармоникам:

Вы можете разложить любую форму волны на бесконечную серию синусоид, сложенных вместе. Это называется анализом Фурье (если исходный сигнал повторяется) или преобразованием Фурье (для любого сигнала).

В случае повторяющегося сигнала (например, прямоугольной волны), когда вы выполняете анализ Фурье, вы обнаруживаете, что все синусы, составляющие сигнал, имеют частоты, которые являются целым числом, кратным частоте исходного сигнала. Они называются «гармониками».

Синусоидальная волна будет иметь только одну гармонику - основную (ну, это уже синус, поэтому она состоит из одного синуса). Прямоугольная волна будет иметь бесконечный ряд нечетных гармоник (то есть, чтобы сделать прямоугольную волну из синусов, вам нужно добавить синусы каждого нечетного кратного основной частоты).

Гармоники генерируются путем искажения синусоиды (хотя вы можете генерировать их отдельно).

Почему это важно:

1. Вы можете создать синусоидальную волну из любой волны фиксированной частоты, если у вас есть фильтр, который пропускает основную частоту, но блокирует 2-кратную частоту (как если бы вы оставили только одну гармонику на месте).
2. На самом деле, вы можете создать синусоидальную волну, которая имеет частоту, отличную от оригинальной - просто используйте полосовой фильтр, чтобы пропустить нужную вам гармонику. Вы можете использовать это, чтобы получить синусоидальную частоту, кратную частоте другого синуса - просто исказите исходный синус и выберите нужную гармонику.
3. ВЧ-системы должны выдавать сигналы, которые не содержат гармоник за пределами допустимого диапазона частот. Вот как источник питания ШИМ (рабочая частота ~ 100 кГц, прямоугольная волна) может создавать помехи FM-радио (рабочие частоты 88–108 МГц, 11–12 МГц (ПЧ)).
4. Если вы хотите иметь прямоугольную волну с очень быстрым временем нарастания / спада, полоса пропускания вашей системы должна быть намного шире, чем основная частота вашей прямоугольной волны.

Производная - скорость изменения - синусоиды является другой синусоидой с той же частотой, но сдвинутой по фазе. Реальные компоненты - провода, антенны, конденсаторы - могут следить за изменениями (напряжения, тока, напряженности поля и т. Д.) Производных, а также за исходным сигналом. Скорости изменения сигнала, скорости изменения сигнала, скорости изменения скорости изменения сигнала и т. Д. Все существуют и являются конечными.

Гармоники прямоугольной волны существуют потому, что скорость изменения (первая производная) прямоугольной волны состоит из очень высоких, внезапных пиков; бесконечно высокие пики, в предельном случае так называемой идеальной прямоугольной волны. Реальные физические системы не могут следовать за такими высокими скоростями, поэтому сигналы искажаются. Емкость и индуктивность просто ограничивают их способность быстро реагировать, поэтому они звонят.

Точно так же, как колокол не может быть ни смещен, ни искажен со скоростью, с которой он ударился, и поэтому он накапливает и высвобождает энергию (вибрируя) с более медленной скоростью, так и цепь не реагирует со скоростью, с которой он поражается шипы, которые являются краями прямоугольной волны. Это также звонит или колеблется, поскольку энергия рассеивается.

Один концептуальный блок может исходить из концепции гармоник, которые по частоте выше, чем фундаментальные. То, что мы называем частотой прямоугольной волны, - это количество переходов, которые она совершает за единицу времени. Но вернемся к этим производным - скорость изменения сигнала огромна по сравнению со скоростью изменения синусоиды на той же частоте. Здесь мы сталкиваемся с более высокими частотами компонентов: эти высокие скорости изменения имеют признаки более высоких частот синусоидальных волн . Высокие частоты обусловлены высокими скоростями изменения квадратного (или другого несинусоидального) сигнала.

Быстрый нарастающий фронт типичен не для синусоиды на частоте f , а для синусоиды гораздо более высокой частоты. Физическая система следует этому как можно лучше, но, будучи ограниченным по скорости, гораздо больше реагирует на низкочастотные компоненты, чем на более высокие. Поэтому мы замедляем людей, видим большую амплитуду, более низкие частотные характеристики и называем это f !

С практической точки зрения, причина, по которой гармоники «появляются», заключается в том, что схемы линейной фильтрации (а также множество схем нелинейной фильтрации), предназначенные для обнаружения определенных частот, будут воспринимать определенные низкочастотные сигналы как интересующие их частоты. Чтобы понять почему, представьте себе большую пружину с очень тяжелым весом, которая прикреплена к рукоятке через довольно свободную пружину. Вытягивание за ручку не будет сильно перемещать тяжелый груз напрямую, но большая пружина и груз будут иметь определенную резонансную частоту, и если вы будете перемещать ручку назад и вперед на этой частоте, вы можете добавить энергию к большому весу и пружине. увеличивая амплитуду колебаний до тех пор, пока она не станет намного больше, чем можно было бы произвести «напрямую», потянув за свободную пружину.

Наиболее эффективный способ передачи энергии в большую пружину - это вытягивание плавного рисунка, соответствующего синусоиде - того же рисунка движения, что и у большой пружины. Другие модели движения будут работать, однако. Если перемещать ручку по другим схемам, часть энергии, которая поступает в узел с пружинным грузом во время частей цикла, будет отводиться во время других. В качестве простого примера, предположим, что человек просто заклинивает рукоятку до крайних концов хода со скоростью, соответствующей резонансной частоте (эквивалентной прямоугольной волне). Перемещение рукоятки от одного конца к другому так же, как вес достигает конца хода, потребует намного больше работы, чем ожидание того, чтобы вес сначала сдвинулся назад, но если в этот момент рукоять не переместится, пружина на ручке будет бороться с весом " Попытка вернуться в центр. Тем не менее, четкое перемещение ручки из одного крайнего положения в другое, тем не менее, будет работать.

Предположим, что весу требуется одна секунда, чтобы качаться слева направо, и еще одна секунда, чтобы качаться назад. Теперь рассмотрим, что случится, если один переместит ручку из одного крайнего движения в другое, которое раньше, но задержится на три секунды с каждой стороны вместо одной секунды. Каждый раз, когда кто-то перемещает рукоятку из одной крайности в другую, вес и пружина будут по существу иметь то же положение и скорость, что и две секунды ранее. Следовательно, к ним будет добавлено столько энергии, сколько было бы за две секунды до этого. С другой стороны, такое прибавление энергии будет происходить только на треть чаще, чем когда «задержка времени» составляла всего одну секунду. Таким образом, перемещение рукоятки назад и вперед с частотой 1/6 Гц добавит к весу в три раза больше энергии в минуту, чем при перемещении рукоятки назад и вперед с частотой 1/2 Гц. Подобное происходит, если перемещать рукоятку назад и вперед на 1/10 Гц, но, поскольку движения будут на 1/5 так же часто, как на 1/2 Гц, мощность будет 1/5.

Теперь предположим, что вместо того, чтобы время задержки было нечетным кратным, каждый делает его четным (например, две секунды). В этом сценарии положение веса и пружины для каждого движения слева направо будет таким же, как и его положение при следующем движении справа налево. Следовательно, если ручка добавляет энергию к пружине в первой, такая энергия будет по существу отменена последней. Следовательно, весна не будет двигаться.

Если вместо того, чтобы совершать экстремальные движения с рукояткой, ее перемещают более плавно, то при более низких частотах движения рукоятки может быть больше раз, когда кто-то борется с движением комбинации вес / пружина. Если перемещать рукоятку в форме синусоидальной волны, но на частоте, существенно отличающейся от резонансной частоты системы, энергия, передаваемая в систему при нажатии «правильного» пути, будет довольно хорошо уравновешена принимаемой энергией. выход из системы толкает «неправильный» путь. Другие модели движения, которые не так экстремальны, как прямоугольная волна, будут, по крайней мере, на некоторых частотах, передавать в систему больше энергии, чем вынимается.

Еще более простая аналогия - представить батут.

электрификация проводника аналогична растяжению батутной мембраны, при этом «растягивается» (искажается) энергетическое поле, связанное с этим проводом.

встаньте посреди батута, наклонитесь и возьмите мембрану батутного пола. Теперь встаньте и потяните / растяните его, когда вы идете, чтобы был пик на уровне вашей талии.

это, конечно, приводит к накоплению энергии в мембране.

теперь, если вы просто отпустите его, он не просто плавно опустится и перестанет двигаться. он быстро сломается и затем будет вибрировать ... колебаться взад-вперед еще несколько раз "сам по себе" ... по мере истощения накопленной энергии.

если вместо этого вы постепенно опускаете его обратно на место ... он не может резко сломаться, и поэтому ничто не вызывает / не позволяет ему вибрировать "самостоятельно". единственная вибрация, которую он совершает - это то, что ты двигаешь его.

все частоты (любой формы волны) имеют математические гармоники, формы волны с внезапными потенциальными изменениями предоставляют более легкую возможность для этих гармоник быть выраженными в виде колебаний реального мира.

Просто дополнение к этому вопросу,

Являются ли эти гармоники несущественными в таких вещах, как передача данных (высокий = 1, низкий = 0), и имеют значение только в таких ситуациях, как аудио или RF?

что я думаю никто не сказал: это не имеет значения. Обычно мы заинтересованы в передаче импульсов в цифровых цепях, поэтому в большинстве случаев мы не принимаем во внимание эту волновую феноменологию. Это потому, что, хотя у прямоугольной волны есть свои гармоники (а не бесконечное число гармоник в реальном мире), поэтому потребуется некоторое время, чтобы подняться / упасть, ваша схема обычно «осознает» это. Это одно из величайших преимуществ цифровой электроники / цифровой связи: от заданной точки (напряжения) сигнал интерпретируется как 1, а от заданной точки - 0. В большинстве случаев это не имеет большого значения для точного формата. прямоугольной волны, поскольку она соответствует определенным временным характеристикам.

Но обратите внимание, что если ваша квадратная частота сигнала возрастает до точки, где длина волны приблизительно равна порядку величины ее линии передачи (может быть проводящей дорожкой печатной платы), то вы можете принять во внимание эту волновую феноменологию. У вас все еще есть цепь в вашей руке, но могут возникнуть некоторые волновые явления. Таким образом, в зависимости от вашего «линейного» импеданса, некоторые частоты могут иметь разную скорость распространения других частот. Поскольку прямоугольная волна состоит из множества гармоник (или, в идеале, бесконечности), вы, вероятно, будете иметь искаженную прямоугольную волну в конце вашей линии передачи или проводящей дорожки (потому что каждая гармоника будет двигаться с разной скоростью).

Хороший пример, где это может произойти, - когда мы используем передачу данных USB в цепи. Обратите внимание, что скорость передачи данных очень высока (высокочастотные прямоугольные волны), поэтому вы должны учитывать импеданс вашей линии передачи. В противном случае у вас, вероятно, будут проблемы в общении.

Короче говоря, все это имеет значение, и все это работает вместе, но вы должны проанализировать, важны ли эти вещи в вашем проекте / анализе или нет.