Масштабирование вывода БПФ по количеству точек в БПФ

При вычислении N-точечного БПФ некоторого сигнала результат всегда делится на N. Я могу понять, почему так происходит суммирование по N точкам, но часто результатом операции БПФ является вектор длины N, а не чем суммирование. Почему тогда вектор длины N, который является выходом БПФ, масштабируется по количеству точек (N), используемых для вычисления БПФ? Спасибо.

Разница в том, что цифровое преобразование Фурье (и БПФ также) дает вектор размером N (или М в некоторых случаях), который содержит суммы из N выборок.

Таким образом, в основном каждая точка преобразования БПФ является результатом суммы за определенный интервал времени выборок на основе времени. Вот почему вы делите на N.

Вы можете рассмотреть это следующим образом: вы берете интервал из N выборок вашего сигнала; затем вы в основном суммируете все выборки N раз, но каждый раз умножаете их для другой функции, которая позволяет извлекать информацию для конкретной частоты (или частотного диапазона, чтобы быть более точным).

В итоге, в итоге, вместо N выборок, каждая из которых связана с временным интервалом, у вас есть N выборок (как и раньше), но каждая из них относится ко всему интервалу и описывает компонент сигнала для определенного частотного диапазона. ,

Просто для полноты, есть четыре случая преобразования Фурье:

1. Непрерывное преобразование Фурье для непрерывных сигналов во времени в течение конечного интервала, что дает непрерывный частотный отклик;

2. Ряды Фурье, принимающие непрерывный и периодический сигнал и дающие дискретный ряд гармоник, то есть с дискретными частотными компонентами;

3. Временное дискретное преобразование Фурье, обратное к (2), в котором из дискретного по времени сигнала дает периодическую функцию в частотной области;

4. Цифровое преобразование Фурье, которое принимает дискретный и периодический сигнал, чтобы дать дискретный и периодический спектр.

Таким образом, преобразование периодического сигнала дает дискретный спектр и наоборот.

Масштабный коэффициент 1 / N размещен практически произвольно. Немасштабированное БПФ, за которым следует немасштабированное БПФ, использующее точно такие же комплексные экспоненциальные коэффициенты твида, умножает входной вектор на масштабатор N. Чтобы получить исходную форму сигнала после обратного обхода IFFT (FFT ()) (таким образом, делая их обратными функциями), некоторые пары реализации FFT / IFFT масштабируют FFT на 1 / N, некоторые масштабируют IFFT на 1 / N, некоторые масштабируют оба на 1 / sqrt (N).