Доказательство того, что каждая схема с диодами имеет ровно одно решение

11

Рассмотрим электронную схему, состоящую из линейных компонентов и ряда идеальных диодов. Под «идеальным» я подразумеваю, что они могут быть либо смещенными в прямом направлении (т.е. и ), либо смещенными в обратном направлении (т.е. и ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Эти схемы могут быть рассчитаны путем произвольного объявления каждого диода либо с прямым или смещенным обратным смещением, и установки для каждого диода с смещением и для каждого диода с обратным смещением. После того, как полученная линейная схема была рассчитана, мы должны проверить, удовлетворяется ли на каждом диоде с смещением и на каждом диоде с обратным смещением . Если да, то это наше решение. Если нет, мы должны попробовать другой набор вариантов для диодов. Таким образом, для диодов мы можем рассчитать схему, рассчитав не более линейных цепей (обычно намного меньше). $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$

Почему это работает? Другими словами, почему всегда есть один выбор, который приводит к правильному решению и (что более интересно), почему никогда не бывает двух вариантов, которые оба приводят к действительным решениям?

Должна быть возможность доказать это на том же уровне строгости, с которой, например, теорема Тевенина доказана в учебниках.

Ссылка на доказательство в литературе также будет приемлемым ответом.

circuit-analysis diodes

— Стефан
источник

1

Потому что физическая схема может находиться только в одном состоянии одновременно. Это не квантовая механика ...

— Евгений Ш.

3

@ Евгений Ш .: Это правда, но это не то, о чем спрашивает ОП. Некоторые схемы могут находиться в любом из нескольких различных состояний при одинаковых внешних условиях. Вопрос состоит в том, чтобы доказать, что существует только одно такое состояние для класса цепей, который описывает OP.

— Дэйв Твид

5

@ Евгений Ш .: Например, триггер (или любая бистабильная схема) является контрпримером схемы, которая имеет более одного решения. Если не дано «одного и того же исходного состояния», вы должны принять какие-либо условия и посмотреть, какие стабильные решения доступны, а затем вы обнаружите, что у некоторых цепей есть только одна, независимо от того, какие начальные условия (например, у линейных цепей), а у других более одного ,

— Творог

1

@EugeneSh. Суть в том, чтобы доказать, что установившееся поведение диодной схемы не зависит от начальных условий, существует только одно устойчивое решение. В отличие от триггера, который имеет несколько стабильных решений и может использоваться в качестве элемента памяти («начальные условия» - это запись в память).

— Эван

2

@EugeneSh. Дело не в том, что нелинейная схема может находиться в четко определенном состоянии при заданных начальных условиях, а в противоположном. Теорема, на которую ссылается ОП, гарантирует, что существует только одно решение независимо от начальных условий , что довольно характерно для нелинейной схемы.

— Лоренцо Донати - Codidact.org

3

Я предполагаю, что это для надуманной проблемы, где есть цепь с известными пассивами и некоторыми данными I и V, и пятна, отмеченные для диодов неизвестного направления. Мой ответ:

Надеемся, что создатели проблем ограничены случаями, когда их предположения приводят к их выводам.

Это может быть теоретически неразрешимым, если диод будет посторонним; Рассмотрим заземление обеих сторон диода. Могут быть нетривиальные случаи использования виртуальных площадок или других равных напряжений, которые трудно обнаружить.

Несомненно, могут существовать действительные схемы, которые отличаются только направлением диода для любого значения «действительной схемы», которая включает в себя диоды. Подумайте о том, чтобы моделировать переключатели с использованием этих идеальных правил для диодов. Как вы можете решить, должен ли переключатель быть включен или выключен? Надеемся, что данные токи и напряжения дают достаточно подсказок. И, надеюсь, они не дали вам противоречивые намеки.

Это переносит вопрос на «Как вы можете определить, достаточно ли у экземпляра информации, чтобы быть уникальным?» Я помню, что ответом было что-то вроде того, что вам нужно одно независимое значение для каждого независимого неизвестного, но я уверен, что не смог доказать это или придумать общий тест на независимость того или другого.

2

Для идеальных диодов может быть несколько решений.

Тривиальный контрпример: возьмите любую схему, содержащую идеальные диоды, которые вы решили. Теперь замените один из идеальных диодов на, если прямая проводка, парой диодов, соединенных параллельно, или, если с обратным смещением, парой последовательно, сохраняя ориентацию в любом случае. Как вы решаете для распределения тока или напряжения между двумя? Вы не можете, идеальная модель диода приводит к выпуклой оболочке одинаково допустимых решений.

— Бен Фойгт
источник

1

Вы действительно растягиваете здесь определение «кругооборота». Два последовательных идеальных диода с обратным смещением создают между ними изолированный узел, а два параллельных идеальных диода с прямым смещением создают изолированную петлю. Это не полезно в контексте вопроса.

— Дэйв Твид

@DaveTweed: Каким образом пост-модификация схемы менее крутая, чем была до внесения изменений?

— Бен Фойгт

2

Это не так, но ваша модификация не создает полезного различия. Если два идеальных диода соединяют пару узлов схемы, единственное, что имеет значение, это общее напряжение или общий ток между этими узлами; распределение напряжения или тока между диодами по отдельности не имеет никакого значения. А добавление неуместного термина, такого как «выпуклая оболочка», - просто чистый техноразрыв.

— Дэйв Твид

Это очень полезно, так как показывает, что нет никакой надежды на доказательство уникальности без дополнительных предположений. Конечно, следующий вопрос заключается в том, достаточно ли исключить два диода подряд и два диода параллельно, или существуют контрпримеры большей сложности.

— Стефан

1

У меня нет строгих доказательств, но общая идея состоит в том, что, пока компоненты схемы имеют кривые ВИ, которые являются однозначными функциями (включая диоды и линейные компоненты), может быть только одно решение схема в целом.

— Дэйв Твид
источник

Вид индукции по суперпозиции. Базовым корпусом будет однодиодная схема, которую легко показать, имея единственное решение. Затем шаг индукции, чтобы показать комбинацию базовых цепей, имеющих единственное решение.

— Евгений Ш.

1

Однако идеальный диод, обсуждаемый в уравнении , не имеет однозначной кривой IV.

— Бен Фойгт

@BenVoigt: При работе с идеальными компонентами и соответствующими нулями и бесконечностями вы должны быть осторожны. Концепция пределов имеет решающее значение: прямое сопротивление бесконечно мало, но не равно нулю, а обратная проводимость также бесконечно мала, но не равна нулю. При таком рассмотрении уравнение действительно однозначно.

— Дэйв Tweed

1

Я думаю, что это довольно просто:

идеальные диоды с прямым смещением можно рассматривать как короткие замыкания, а идеальные диоды с обратным смещением - как разомкнутые цепи. Таким образом, в любом случае вы получаете схемы с только линейными компонентами (потому что все диоды разрешают открывать цепи или замыкать), и эти линейные схемы, как известно, имеют ровно одно решение.

— творог
источник

3

Но у каждого из этих контуров будет решение - как доказать, что только один самосогласован?

— Бен Фойгт

@ Бен Фойгт: хорошо, я понимаю. Это еще не доказано (и, вероятно, является основной работой)

— Творог

1

Из Википедии загрузка строк ввода

Существует только одно уникальное решение из-за характера проблемы. Это лучше всего иллюстрируется графически в виде линий нагрузки. Диод имеет уравнение, которое описывает соотношение между током через него (ось Y) и напряжением на нем (ось X). Здесь ось х - это напряжение на диоде.

Посмотрите, что происходит с током на резисторе при изменении напряжения на диоде. Если напряжение на диоде равно Vdd, то на резисторе не будет падения напряжения, поскольку напряжение на резисторе и диоде должно суммироваться с Vdd), и, следовательно, на резисторе будет нулевой ток (закон Ома). Аналогично, если бы на диоде было нулевое падение напряжения, на резисторе было бы Vdd, а ток через резистор был бы Vdd / R.

Теперь мы знаем, что это нереальные ситуации, так как ток в диоде и резисторе должен быть одинаковым. Учитывая уравнение для резистора (линейное) и уравнение для диода (нелинейное, но монотонное возрастание), мы можем видеть на графике, что это может произойти только в одной уникальной точке, пересечении двух кривых.

Таким образом, одновременное решение трех уравнений (резистор, диод и тот факт, что два тока должны быть равны) дают одно уникальное решение.

Этот метод будет работать для всех элементов схемы.

Это немного отличается для диодов обратного тока, так как ток резистора идет в другую сторону, и к графику нужно добавить квадрант.

— Скотт Сейдман
источник

Кривая IV диода, которую вы показываете, не является кривой IV идеального диода.

— Творог

@Curd: Учитывая отсутствие масштабных факторов, это достаточно близко. Смотрите мой комментарий к Бену Фойгту.

— Дэйв Твид

1

Это хорошее объяснение для случая с одним диодом, но моя настоящая проблема в случае с несколькими диодами.

— Стефан

1

«Доказательство» этого будет работать только для определенных цепей. Если у вас есть некоторое усиление, и единственными нелинейными элементами являются сами диоды, вы можете иметь несколько возможных состояний. Например (может быть не самый простой пример).

Эта схема будет работать с идеальным идеально линейным операционным усилителем, и выход никогда не уходит в бесконечность или не насыщается, однако при 0 В на выходе может быть около +6 или около -6 на выходе, при этом одна или другая пара диодов проводит , Он также будет работать с «почти идеальными» диодами, которые имеют прямое падение при включении и не имеют других неидеальностей.

схематический

(и, конечно, туннельные диоды являются частным случаем с их немонотонной кривой IV).

Для доказательства, вероятно, потребуются только пассивные элементы, такие как резисторы (без зависимых источников тока или напряжения). Или, возможно, только с идеальными диодами с 0 В Vf.

— Спехро Пефхани
источник

Разве не ясно, что класс схем, о которых мы здесь говорим, исключает что-либо с усилением, например любые 3-контактные устройства или устройства с отрицательным сопротивлением?

— Дэйв Твид

@DaveTweed Нет, это не так. В первоначальном вопросе говорится «линейные компоненты», что недостаточно ограничительно, по крайней мере для диодов с прямым падением. Типичные вопросы из учебников имеют только независимые источники напряжения и тока и резисторы и идеальные или несколько идеальные диоды. В реальных и полезных схемах обычно используются операционные усилители, IME.

— Спехро Пефхани

Я имел в виду то, что вы описываете как типичные вопросы из учебника.

— Стефан

1

Вы правы, вопрос должен сказать «пассивный», если он означает исключение активных, но линейных элементов.

— Бен Фойгт

0

Это не полное доказательство, но, возможно, оно поможет вам:

Если существует несколько решений, существует по крайней мере один диод, который может быть смещен в прямом или обратном направлении. Рассмотрим один такой диод. В данном решении это либо прямое, либо обратное смещение. Давайте определим напряжения на его клеммах, Va и Vb, так, чтобы, если оно смещено в прямом направлении, Va> = Vb, а если оно имеет обратное смещение, Vb> = Va. В случае прямого или обратного смещения, остальные Схема (RotC) производит эти напряжения на клеммах диода.

Поскольку вы заявили, что схема состоит из линейных элементов и диодов, либо RotC является чисто линейной сетью, либо содержит больше диодов.

Если RotC является чисто линейной сетью, у нее есть только одно решение, и единственное решение ограничений Va> = Vb и Vb> = Va состоит в том, что Va = Vb.

Если RotC включает больше диодов с несколькими возможными решениями, рассмотрим следующий такой диод. Опять же, он либо подключен к линейной сети, либо к сети с большим количеством диодов с несколькими возможными решениями.

Если предположить, что в схеме имеется конечное число диодов ...

— PProteus
источник