Какова роль удержания нулевого порядка в гибридной аналоговой / цифровой системе выборочных данных?

Я признаю, я задаю этот вопрос риторически. Мне любопытно, какие ответы вернутся из этого.

Если вы решите ответить на этот вопрос, убедитесь, что вы хорошо понимаете теорему Шеннона-Найквиста. Особенно реконструкция. Также будьте осторожны с "гочами" в учебниках. Инженерное представление о функции импульса Дирака является достаточным. Вам не нужно беспокоиться обо всем «распределении», импульс Дирака как зарождающаяся дельта-функция достаточно хорош:

δ (t) = lim_{τ \to 0} \frac{1}{τ} rect (\frac{t}{τ})

$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$

где

r e c t (t) ≜ {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

Проблемы, связанные с точностью, шириной слова в образцах и квантованием при преобразовании, не имеют отношения к этому вопросу. Но масштабирование от входа к выходу имеет значение.

Я напишу свой собственный ответ на него в конце концов, если кто-то еще не представит точный и педагогически полезный ответ. Я мог бы даже вознаградить за это (может с тем же успехом потратить то маленькое количество повторений, которое у меня есть).

Имейте в этом.

sampling sample-and-hold zoh

— Роберт Бристоу-Джонсон
источник

Вы заинтересованы услышать о псевдонимах в первую очередь?

— Deadude

нет. Я предполагаю, что все правила теоремы выборки соблюдаются. то есть, ни содержимое, ни энергия во входных данных непрерывного времени не отбираются, которые находятся на уровне или выше . теперь, помните, есть разница между «псевдонимами» и «изображениями».

\frac{f_{s}}{2}

$\frac{f_\mathrm{s}}{2}$

— Роберт Бристоу-Джонсон

Насколько я помню, удержание нулевого порядка - это просто задержка между выборками в цифровой системе, и, очевидно, может повлиять на аналоговую сторону вещей между одной выборкой и следующей

— KyranF

@KyranF, это немного больше, чем это.

— Роберт Бристоу-Джонсон

@ robertbristow-johnson из ответов, данных Тимо, действительно выглядит более запутанным, чем я думал. Удачи с этим!

— KyranF

Ответы:

Настроить

Мы рассматриваем систему с входным сигналом , и для ясности мы называем значения как напряжения, где это необходимо. Наш образец период , а соответствующий образец ставка . $x(t)$ $x(t)$ $T$ $f_s \triangleq 1/T$

Для преобразования Фурье мы выбираем соглашения давая обратное преобразование Фурье Обратите внимание, что с этими соглашениями является функцией переменной Лапласа .

X (i 2 π f) = F (x (t)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} d t,

$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$

x (t) = F^{- 1} (X (i 2 π f)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} X (i 2 π f) e^{i 2 π f t} d f .

$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$

X

$X$

s = i ω = i 2 π f

$s = i \omega = i 2 \pi f$

Идеальный отбор проб и реконструкция

Начнем с идеальной выборки: в соответствии с теоремой выборки Найквиста-Шеннона для заданного сигнала который ограничен полосой частот , то есть то исходный сигнал может быть полностью восстановлен по выборкам , где . Другими словами, учитывая условие ширины полосы сигнала (называемое критерием Найквиста ), достаточно знать его мгновенные значения в эквидистантных дискретных моментах времени. $x(t)$ $f < \frac{1}{2} f_s$

X (i 2 π f) = 0, w h e n | f | \geq \frac{1}{2} f_{s},

$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(n T)$

n \in Z

$n\in \mathbb{Z}$

Теорема выборки также дает явный метод для проведения реконструкции. Остановимся на этом так, как это будет полезно в дальнейшем: оценим преобразование Фурье сигнала по его сумме Римана с шагом : где . Давайте перепишем это как интеграл, чтобы определить ошибку, которую мы делаем: $X(i 2 \pi f)$ $x(t)$ $T$

X (i 2 π f) \sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n Δ t) e^{- i 2 π f n Δ t} Δ t,

$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$

Δ t = T

$\Delta t = T$

\begin{aligned} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) e^{- i 2 π f n T} T & = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} T δ (t - n T) d t \\ = X (i 2 π f) * F (T \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T)) \\ (1) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (f - k / T), \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$ где мы использовали теорему свертки о произведении и функцию выборки , тот факт, что преобразование Фурье функции выборки является , и выполнил интеграл по дельта-функциям.

x (t)

$x(t)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} T δ (t - n T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (f - k / T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

Обратите внимание, что левая часть в точности равна , где - преобразование Фурье с дискретным временем соответствующего дискретизированного сигнала , где - безразмерная частота дискретного времени. $T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $x[n] \triangleq x(n T)$ $f T$

Здесь мы видим существенную причину критерия Найквиста: это именно то, что требуется, чтобы гарантировать, что условия суммы не перекрываются. С помощью критерия Найквиста сумма сводится к периодическому расширению спектра от интервала до всей действительной линии. $[-f_s/2, f_s/2]$

Поскольку DTFT в имеет такое же преобразование Фурье в интервале что и наш исходный сигнал, мы можем просто умножить его на прямоугольную функцию и верните исходный сигнал. С помощью теоремы свертки это сводится к свертыванию гребня Дирака с преобразованием Фурье прямоугольной функции, которая в наших соглашениях имеет вид где нормализованная функция sinc имеет вид $\eqref{discreteft}$ $[-f_s/2, f_s/2]$ $\mathrm{rect}(f/f_s)$

F (r e c t (f / f_{s})) = 1 / T s i n c (t / T),

$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$

s i n c (x) ≜ \frac{\sin (π x)}{π x} .

$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$ Затем свертка просто заменяет каждую дельту Дирака в гребне Дирака sinc-функцией, сдвинутой в положение дельты, давая Это интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона .

\begin{matrix} (2) & x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] s i n c (t / T - n) . \end{matrix}

$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$

Неидеальная выборка

Для перевода вышеприведенной теории в реальный мир, наиболее трудной частью является обеспечение ограничения полосы пропускания, что необходимо сделать перед выборкой. Для целей этого ответа мы предполагаем, что это было сделано. Оставшаяся задача состоит в том, чтобы затем взять образцы мгновенных значений сигнала. Поскольку для реального АЦП потребуется конечное количество времени для формирования аппроксимации к выборке, обычная реализация будет сохранять значение сигнала в схеме выборки и удержания, из которой формируется цифровая аппроксимация.

Несмотря на то, что это очень похоже на удержание нулевого порядка, это особый процесс: значение, полученное из выборки и удержания, действительно является точно мгновенным значением сигнала, вплоть до приближения, что сигнал остается постоянным для продолжительность зарядки конденсатора, в котором хранится значение выборки. Это обычно хорошо достигается системами реального мира.

Следовательно, мы можем сказать, что реальный АЦП, игнорирующий проблему ограничения полосы пропускания, является очень хорошим приближением к случаю идеальной выборки, и, в частности, «лестница», возникающая из выборки и удержания, не вызывает никакой ошибки в Выборка сама по себе.

Неидеальная реконструкция

Для реконструкции цель состоит в том, чтобы найти электронную схему, которая выполняет сумму синусов, появляющуюся в . Поскольку sinc имеет бесконечную протяженность во времени, совершенно очевидно, что это не может быть точно реализовано. Кроме того, формирование такой суммы сигналов даже в разумном приближении потребует нескольких подсхем и быстро станет очень сложным. Поэтому обычно используется гораздо более простое приближение: в каждый момент дискретизации выводится напряжение, соответствующее значению выборки, и поддерживается постоянным до следующего момента дискретизации (хотя см. Дельта-сигма-модуляция для примера альтернативного метода). Это удержание нулевого порядка , и оно соответствует замене sinc, которую мы использовали выше, функцией прямоугольника. $\eqref{sumofsinc}$ $1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$ . Оценка свертки используя свойство определения дельта-функции, мы видим, что это действительно приводит к классической лестничной форме с непрерывным временем. Множитель вводит для отмены введенного в . Необходимость такого фактора также очевидна из того факта, что единицы импульсного отклика равны 1 / время.

(1 / T r e c t (t / T - 1 / 2)) * (\sum_{n = - \infty}^{\infty} T x [n] δ (t - n T)),

$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$

1 / T

$1/T$

T

$T$

(1)

$\eqref{discreteft}$

Сдвиг на просто гарантирует причинность . Это сводится только к сдвигу вывода на 1/2 выборки относительно использования (что может иметь последствия в системах реального времени или когда требуется очень точная синхронизация с внешними событиями ), который мы будем игнорировать в дальнейшем. $-1/2 T$ $1/T \mathrm{rect}(1/T)$

Сравнивая с , мы заменили прямоугольную функцию в частотной области, которая оставила базовую полосу полностью нетронутой, и удалили все высокочастотные копии спектра, называемые изображениями , с помощью преобразования Фурье функции . Это, конечно, $\eqref{discreteft}$ $1/T \mathrm{rect}(t/T)$

s i n c (f / f_{s}) .

$\mathrm{sinc}(f/f_s).$

Обратите внимание, что логика несколько отличается от идеального случая: там мы определили нашу цель, которая заключалась в удалении изображений в частотной области, и вывели последствия во временной области. Здесь мы определили, как восстанавливать во временной области (поскольку это то, что мы знаем, как делать), и вывели последствия в частотной области.

Таким образом, результатом удержания нулевого порядка является то, что вместо прямоугольного оконного управления в частотной области мы в итоге получаем sinc как оконную функцию. Следовательно:

Частотная характеристика больше не ограничена полосой пропускания. Скорее он затухает как , причем верхние частоты являются изображениями исходного сигнала $1/f$
в основной полосе отклик уже значительно затухает, достигая около -4 дБ при $1/2 f_s$

В целом, удержание нулевого порядка используется для аппроксимации функции sinc во временной области, появляющейся в формуле интерполяции Уиттекера-Шеннона . При выборке аналогично выглядящий выборка и удержание является техническим решением проблемы оценки мгновенного значения сигнала и не дает никаких ошибок сам по себе.

Обратите внимание, что при реконструкции также не теряется информация, поскольку мы всегда можем отфильтровать высокочастотные изображения после первоначального удержания нулевого порядка. Потери усиления также могут быть скомпенсированы обратным sinc-фильтром до или после ЦАП. Таким образом, с более практической точки зрения удержание нулевого порядка используется для построения начального реализуемого приближения к идеальной реконструкции, которое затем может быть дополнительно улучшено, если это необходимо.

— Timo
источник

Тимо это интересно. Вы столкнулись с последствиями политики Википедии. Проверьте эту старую версию статьи Википедии о теореме выборки . вместо того, чтобы прятаться за формулой суммирования Пуассона, он просто показывает, как выборка генерирует изображения, и явно то, что требуется для восстановления исходного непрерывного сигнала. и вы можете понять, почему в функции выборки присутствует этот фактор.

T

$T$

— Роберт Бристоу-Джонсон

Интересно, что старая версия статьи в Википедии, на мой взгляд, более понятна. Вычисления почти такие же, как я пишу выше, за исключением того, что они дают немного больше деталей.

— Тимо

Во всяком случае, я не совсем уверен, зачем это нужно, чтобы понять, зачем нужен фактор : я думаю, что то, что я пишу в ответе, является достаточным условием для необходимости (технически, это условие согласованности, но мы уже предположим, что реконструкция возможна). Теперь, конечно, понимание всегда субъективно. Например, здесь можно считать более глубокой причиной появления фактора то, что существу становится мерой интегрирования когда принимается предел .

T

$T$

T

$T$

T

$T$

T

$T$

d t

$\mathrm{d}t$

T \to 0

$T \rightarrow 0$

— Тимо

Я полагаю, что вы называете «почему» появление 1 / T в представлении гребня Дирака в виде суммы комплексных экспонент, в en.wikipedia.org/w/… ? Это, конечно, один из способов выразить это, и оно напрямую связано с ролью как меры.

T

$T$

— Тимо

Я не могу помочь, но думаю, что вы должны просто добавить ответ, который вы ищете. Комментарии не для расширенного обсуждения.

— Дэвид

Удержание нулевого порядка играет роль аппроксимации дельта- и -функций, появляющихся в теореме выборки, в зависимости от того, что подходит. $\mathrm{sinc}$

Для ясности рассмотрим систему АЦП / ЦАП с сигналом напряжения. Все следующее относится, однако, к любой системе отбора проб с соответствующей сменой единиц измерения. Я также предполагаю, что входной сигнал уже магически ограничен по полосе, чтобы соответствовать критерию Найквиста.

Начните с выборки: в идеале можно выбрать значение входного сигнала в один момент. Поскольку реальным АЦП требуется конечное количество времени для формирования их приближения, мгновенное напряжение аппроксимируется выборкой и удержанием (мгновенное значение аппроксимируется временем переключения, используемым для зарядки конденсатора). По сути, удержание преобразует проблему применения дельта-функционала к сигналу в задачу измерения постоянного напряжения.

Отметим здесь, что разница между умноженным входным сигналом на последовательность импульсов или удержанием нулевого порядка, применяемым в те же моменты времени, является просто вопросом интерпретации, поскольку АЦП, тем не менее, будет хранить только удерживаемые мгновенные напряжения. Одно можно реконструировать из другого. Для целей этого ответа я приму толкование того, что дискретизированный сигнал является непрерывным сигналом в виде где является опорное напряжение АЦП / ЦАП, есть число битов, являются образцы представлены обычным образом как целые числа, а

x (t) = \frac{Δ t V_{r e f}}{2^{n}} \sum_{k} x_{k} δ (t - k Δ t),

$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$

V_{r e f}

$V_\mathrm{ref}$

n

$n$

x_{k}

$x_k$

Δ t

$\Delta t$ период выборки. Эта несколько нетрадиционная интерпретация имеет то преимущество, что я всегда рассматриваю непрерывный сигнал, а выборка здесь просто означает представление его в терминах чисел , которые действительно являются выборками в обычном смысле.

x_{k}

$x_k$

В этой интерпретации спектр сигнала в основной полосе точно такой же, как и у исходного сигнала, а эффективная свертка с помощью последовательности импульсов дает эффект репликации этого сигнала, что делает спектр периодическим. Реплики называются изображениями спектра. То, что нормировочный коэффициент необходим, можно увидеть, например, с учетом смещения постоянного тока импульса длительностью 1 В длительностью : его DC-смещение, определенное как -компонент преобразования Фурье, равно Чтобы получить тот же результат из нашей выборочной версии, мы действительно должны включить коэффициент . * $\Delta t$ $\Delta t$ $f = 0$

\hat{x} (0) = \int_{0}^{Δ t} 1 V d t = 1 V Δ t .

$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$

Δ t

$\Delta t$

Тогда идеальная реконструкция означает построение электрического сигнала, который имеет тот же спектр основной полосы частот, что и этот сигнал, и не содержит компонентов на частотах вне этого диапазона. Это то же самое, что свертывание импульсного поезда с соответствующей . Это довольно сложно сделать с помощью электроники, поэтому часто аппроксимируется прямоугольной функцией AKA, удерживающей нулевой порядок. По сути, для каждой дельта-функции значение выборки сохраняется в течение периода выборки. $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$

Чтобы увидеть, какие последствия это имеет для восстановленного сигнала, я заметил, что удержание в точности эквивалентно свертыванию последовательности импульсов с прямоугольной функцией Нормализация этой прямоугольной функции определяется требованием правильного воспроизведения постоянного напряжения, или, другими словами, если при выборке измерялось напряжение , то же напряжение выводится при реконструкции.

{r e c t}_{Δ t} (t) = \frac{1}{Δ t} r e c t (\frac{t}{Δ t}) .

$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$

V_{1}

$V_1$

В частотной области это равносильно умножению частотной характеристики на преобразование Фурье прямоугольной функции, которое равно Обратите внимание, что усиление на постоянном токе равно . На высоких частотах распадается как , и, следовательно, ослабляет изображения спектра.

{\hat{r e c t}}_{Δ t} (f) = s i n c (π Δ t f) .

$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$

1

$1$

s i n c

$\mathrm{sinc}$

1 / f

$1/f$

В конце концов, возникающая в результате удержания нулевого порядка, ведет себя как фильтр нижних частот сигнала. Обратите внимание, что никакая информация не теряется в фазе дискретизации (при условии, что критерий Найквиста), и в принципе, ничего не теряется при реконструкции: фильтрация в основной полосе с помощью может быть компенсирована обратным фильтром (и это действительно иногда делается, см., например, https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853 ). Скромное затухание обычно требует некоторой формы фильтрации для дальнейшего ослабления изображений. $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$ $-6\mathrm{dB/octave}$ $\mathrm{sinc}$

Отметим также, что мнимый генератор импульсов, который может физически воспроизводить последовательность импульсов, использованную в анализе, будет выводить бесконечное количество энергии при восстановлении изображений. Это также может вызвать некоторые волосатые эффекты, такие как то, что АЦП при повторной выборке на выходе ничего не увидит, если он не будет полностью синхронизирован с исходной системой (он будет в основном производить выборку между импульсами). Это ясно показывает, что даже если мы не можем точно ограничить полосу выходного сигнала, некоторое приблизительное ограничение полосы частот всегда необходимо для регуляции полной энергии сигнала, прежде чем он может быть преобразован в физическое представление.

Подвести итоги:

в обоих направлениях удержание нулевого порядка действует как приближение к дельта-функции, или ее ограниченная полосой форма, функции . $\mathrm{sinc}$
с точки зрения частотной области, это приближение к кирпичному фильтру, который удаляет изображения и, следовательно, регулирует бесконечное количество энергии, присутствующей в идеализированной последовательности импульсов.

* Это также ясно из размерного анализа: единицами преобразования Фурье сигнала напряжения являются тогда как Дельта-функция имеет единицы , которые отменяют единицу времени, полученную из интеграла в преобразовании. $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ $1/\mathrm{s}$

— Timo
источник

когда таймер позволит мне, я вознагражу за это, Тимо. Есть некоторые вещи, которые мне нравятся: например, иметь усиление постоянного тока = 1, что соответствует уравнению. 1 на вашей сентенции цитате, но путь слишком много учебников облажаться с усилением , что они не знают , что делать с. и кажется, что вы понимаете, что ZOH не имеет никакого отношения к любому возможному S / H на входе АЦП. это хорошо. я все еще буду ждать немного более точного ответа. и не беспокойтесь о . Я предполагаю, что это то же самое для АЦП и ЦАП.

T

$T$

V_{ref}

$V_\text{ref}$

— Роберт Бристоу-Джонсон

@ Робертбристоу-Джонсон: спасибо за добрые слова! Можете ли вы указать немного, в каком направлении вы ищете более строгий? Больше деталей, больше математического ответа или что-то совсем другое?

— Тимо

я предполагаю математическую обработку с чистыми и последовательными математическими обозначениями. я бы предложил быть согласным с Оппенгеймом и Вильским или что-то в этом роде. возможно, так что преобразования Лапласа и Фурье имеют согласованную и совместимую запись . обсудите, что говорит теорема о сэмплировании и как она отличается в реальности и где ZOH вступает в это.

T ≜ \frac{1}{f_{s}}

$T \triangleq \frac{1}{f_\text{s}}$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(nT)$

F {x (t)} = X (j 2 π f) ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\mathcal{F}\{x(t)\} = X(j2\pi f) \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \ dt$

— Роберт Бристоу-Джонсон

Хорошо, позвольте мне на самом деле попробовать написать другой ответ, так как редактирование этого, чтобы изменить нотацию на то, что вы предпочитаете и т. Д., Вероятно, оставит немного беспорядка. Сначала я исправлю небольшую ошибку, потому что это беспокоит меня ...

— Тимо

Я был немного смущен и медлителен при розыгрыше и не нажал значок щедрости, чтобы наградить вашу награду. согласно правилам: если вы не начисляете награду в течение 7 дней (плюс льготный период), ответ с наибольшим количеством голосов, полученный после того, как награда началась с минимальной оценкой 2, будет присуждена в размере половины суммы вознаграждения. Если два или более отвечающих критериям ответа имеют одинаковый балл (т.е. их баллы связаны), самый старый ответ присуждается за вознаграждение. Если нет ответа, отвечающего этим критериям, награда не присуждается никому. - согласно этим правилам вы должны получить его в течение недели.

— Роберт Бристоу-Джонсон

Преобразование Фурье :

X (j 2 π f) = F {x (t)} ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$

Обратное преобразование Фурье:

x (t) = F^{- 1} {X (j 2 π f)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} X (j 2 π f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$

Функция прямоугольного импульса :

rect (u) ≜ {\begin{cases} 0 & if | u | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | u | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

Функция "Sinc" ("sinus cardinalis") :

sinc (v) ≜ {\begin{cases} 1 & if v = 0 \\ \frac{\sin (π v)}{π v} & if v \neq 0 \end{cases}

$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$

Определить частоту дискретизации , , как величина , обратная периоду дискретизации . $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ $T$

Обратите внимание:

F {rect (\frac{t}{T})} = T sinc (f T) = \frac{1}{f_{s}} sinc (\frac{f}{f_{s}})

$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

Гребень Дирака (он же «функция выборки», он же «функция Ша») :

{III}_{T} (t) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T)

$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$

Гребень Дирака является периодическим с периодом . Ряд Фурье : $T$

{III}_{T} (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π k f_{s} t}

$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$

Дискретный непрерывный сигнал :

\begin{aligned} x_{s} (t) & = x (t) \cdot (T \cdot {III}_{T} (t)) \\ = x (t) \cdot (T \cdot \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (t) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$

где . $x[n] \triangleq x(nT)$

Это означает, что определяется исключительно выборками и периодом выборки и полностью теряет любую информацию о значениях за промежутки времени между экземплярами выборки. представляет собой дискретную последовательность чисел и является сокращенной записью для DSP сорта для . Хотя верно, что для , значение для любого не являющегося целым числом, не определено. $x_\text{s}(t)$ $x[n]$ $T$ $x(t)$ $x[n]$ $x_n$ $x_\text{s}(t) = 0$ $nT < t < (n+1)T$ $x[n]$ $n$

NB: дискретный сигнал и все операции с дискретным временем над ним, такие как -преобразование , дискретное преобразование Фурье (DTFT) , дискретное преобразование Фурье (DFT) , являются «независимыми» относительно частоты дискретизации или периода дискретизации . После того, как вы в дискретном времени домен, вы не знаете (или уход) о . Это только с Найквиста-Шеннона сэмплирования и реконструкции теоремы , что и вместе взятые. $x[n]$ $\mathcal{Z}$ $T$ $x[n]$ $T$ $x[n]$ $T$

Преобразование Фурье является $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} {Икс}_{s} (J 2 π е) ≜ F {{Икс}_{s} (T)} & знак равно F {Икс (T) \cdot (T \cdot {III}_{T} (T))} \\ знак равно F {Икс (T) \cdot (T \cdot Σ_{К знак равно - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} е^{J 2 π К е_{s} T})} \\ знак равно F {Σ_{К знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс (T) е^{J 2 π К е_{s} T}} \\ знак равно Σ_{К знак равно - \infty}^{+ \infty} F {Икс (T) е^{J 2 π К е_{s} T}} \\ знак равно Σ_{К знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс (J 2 π (е - К е_{s})) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$

Важное примечание о масштабировании: функция выборки и дискретизированный сигнал имеют коэффициент который вы не увидите почти во всех учебниках. Это педагогическая ошибка авторов этих учебников по нескольким (связанным) причинам: $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ $x_\text{s}(t)$ $T$

Во-первых, пропуская изменяет размер выборочного сигнала по сравнению с выборки сигнала . $T$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$
Этот фактор понадобится где-то в цепочке сигналов. Эти учебники, которые исключают его из функции выборки, в конечном итоге помещают его в часть восстановления теоремы выборки, обычно в качестве усиления полосы пропускания фильтра восстановления. Это сбивает с толку. Кто-то может разумно спросить: «Как мне спроектировать LPF с кирпичной стеной с усилением полосы пропускания ?» $T$ $T$
Как будет показано ниже, оставление здесь приводит к аналогичной ошибке масштабирования для чистой передаточной функции и чистой частотной характеристики удержания нулевого порядка (ZOH). Все учебники по цифровым (и гибридным) системам управления, которые я видел, допускают эту ошибку, и это серьезная педагогическая ошибка. $T$

Обратите внимание, что DTFT для и преобразование Фурье для дискретизированного сигнала при правильном масштабировании практически идентичны: $x[n]$ $x_\text{s}(t)$

DTFT:

\begin{aligned} {Икс}_{D T F T} (ω) & ≜ Z {Икс [N]} |_{Z знак равно е^{J ω}} \\ знак равно {Икс}_{Z} (е^{J ω}) \\ знак равно Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] е^{- J ω N} \end{aligned}

$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$

Можно показать, что

{Икс}_{D T F T} (ω) знак равно {Икс}_{Z} (е^{J ω}) знак равно \frac{1}{T} {Икс}_{s} (J 2 π е) |_{е знак равно \frac{ω}{2 π T}}

$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$

Приведенная выше математика верна независимо от того, правильно ли выбрана или нет. "правильно выбран", если может быть полностью восстановлен из выборок и знания частоты дискретизации или периода выборки. Sampling теорема говорит нам , что необходимо восстановить или реконструировать от и . $x(t)$ $x(t)$ $x(t)$ $x[n]$ $x(t)$ $x[n]$ $T$

Если является ограниченной полосой до некоторой bandlimit , это означает , $x(t)$ $B$

Икс (J 2 π е) знак равно 0 для всех | е | > В

$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$

Рассмотрим спектр дискретизированного сигнала, составленного из смещенных изображений оригинала:

{Икс}_{s} (J 2 π е) знак равно Σ_{К знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс (J 2 π (е - К е_{s}))

$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$

Исходный спектр может быть восстановлен из выборочного спектра если ни одно из сдвинутых изображений , перекрывают соседних соседей. Это означает, что правый край изображения (то есть ) должен находиться полностью слева от левого края ( ) -ое изображение (то есть ). Пересчитано математически, $X(j 2 \pi f)$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k+1$ $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$

К е_{s} + В < (К + 1) е_{s} - В

$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$

что эквивалентно

е_{s} > 2 В

$f_\text{s} > 2B$

Если мы производим выборку с частотой дискретизации, которая в два раза превышает пропускную способность, ни одно из изображений не перекрывается, исходный спектр , то есть изображение, где может быть извлечено из с фильтром нижних частот кирпичной стены, который сохраняет исходное изображение (где ) немасштабированным и удаляет все другие изображения. Это означает, что он умножает исходное изображение на 1 и умножает все остальные изображения на 0. $X(j 2 \pi f)$ $k=0$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $k=0$

\begin{aligned} Икс (J 2 π е) & знак равно прямоугольник (\frac{е}{е_{s}}) \cdot {Икс}_{s} (J 2 π е) \\ знак равно ЧАС (J 2 π е) {Икс}_{s} (J 2 π е) \end{aligned}

$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$

Фильтр реконструкции является

ЧАС (J 2 π е) знак равно прямоугольник (\frac{е}{е_{s}})

$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

и имеет акаузальный импульсный отклик :

час (T) знак равно F^{- 1} {ЧАС (J 2 π е)} знак равно е_{s} синк (е_{s} T)

$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$

Эта операция фильтрации, выраженная как умножение в частотной области, эквивалентна свертке во временной области:

\begin{aligned} Икс (T) & знак равно час (T) ⊛ {Икс}_{s} (T) \\ знак равно час (T) ⊛ T Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] δ (T - N T) \\ знак равно T Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] (час (T) ⊛ δ (T - N T)) \\ знак равно T Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] час (T - N T)) \\ знак равно T Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] (е_{s} синк (е_{s} (T - N T))) \\ знак равно Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] синк (е_{s} (T - N T)) \\ знак равно Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] синк (\frac{T - N T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$

Это ясно объясняет, как исходный восстанавливается из выборок и знания частоты дискретизации или периода выборки. $x(t)$ $x[n]$

Так что то, что выводится из практического цифро-аналогового преобразователя (ЦАП), не является ни

Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] синк (\frac{T - N T}{T})

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$

который не нуждается в дополнительном лечении для восстановления , ни $x(t)$

{Икс}_{s} (T) знак равно Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] T δ (T - N T)

$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$

который с помощью идеальной кирпичной стены LPF восстанавливает , изолируя и сохраняя изображение основной полосы частот и отбрасывая все другие изображения. $x(t)$

Что получается из обычного ЦАП, если не выполняется обработка или масштабирование для оцифрованного сигнала, так это значение сохраняемое при постоянном значении до тех пор, пока не будет выведен следующий образец. Это приводит к кусочно-постоянной функции : $x[n]$

{Икс}_{DAC} (T) знак равно Σ_{N знак равно - \infty}^{+ \infty} Икс [N] прямоугольник (\frac{T - N T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Обратите внимание на задержку периода выборки примененную к функции . Это делает это причинно-следственной. Это просто означает, что $\frac{1}{2}$ $\operatorname{rect}(\cdot)$

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T) when n T \leq t < (n + 1) T

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$

Заявлено по-другому

x_{DAC} (t) = x [n] = x (n T) for n = floor (\frac{t}{T})

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$

где - это функция пола , определенная как наибольшее целое число, не превосходящее . $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ $u$

Этот выход ЦАП напрямую моделируется как линейная не зависящая от времени система (LTI) или фильтр, который принимает идеально дискретизированный сигнал и для каждого импульса в идеально дискретизированном сигнале выводит эту импульсную характеристику: $x_\text{s}(t)$

h_{ZOH} (t) = \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$

Подключить, чтобы проверить это ...

\begin{aligned} x_{DAC} (t) & = h_{ZOH} (t) ⊛ x_{s} (t) \\ = h_{ZOH} (t) ⊛ T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (t - n T) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (h_{ZOH} (t) ⊛ δ (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] h_{ZOH} (t - n T)) \\ = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \frac{1}{T} rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] rect (\frac{t - n T - \frac{T}{2}}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$

Выход ЦАП , как выход системы LTI с импульсной характеристикой согласуется с кусочно-постоянной конструкцией выше. И входом в эту систему LTI является выборочный сигнал разумно масштабированный таким образом, чтобы изображение основной полосы частот точно таким же, как спектр исходного дискретизированного сигнала . То есть $x_\text{DAC}(t)$ $h_\text{ZOH}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$

X (j 2 π f) = X_{s} (j 2 π f) for - \frac{f_{s}}{2} < f < + \frac{f_{s}}{2}

$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$

Спектр исходного сигнала такой же, как у дискретизированного спектра, но все изображения, появившиеся в результате дискретизации, отбрасываются.

Передаточная функция этой системы LTI, которую мы называем удержанием нулевого порядка (ZOH) , является преобразованием Лапласа импульсного отклика:

\begin{aligned} H_{ZOH} (s) & = L {h_{ZOH} (t)} \\ ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} h_{ZOH} (t) e^{- s t} d t \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} rect (\frac{t - \frac{T}{2}}{T}) e^{- s t} d t \\ = \int_{0}^{T} \frac{1}{T} e^{- s t} d t \\ = \frac{1}{T} \frac{1}{- s} e^{- s t} |_{0}^{T} \\ = \frac{1 - e^{- s T}}{s T} \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$

Частотная характеристика получается путем подстановки $j 2 \pi f \rightarrow s$

\begin{aligned} H_{ZOH} (j 2 π f) & = \frac{1 - e^{- j 2 π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{- j π f T} \frac{e^{j π f T} - e^{- j π f T}}{j 2 π f T} \\ = e^{- j π f T} \frac{\sin (π f T)}{π f T} \\ = e^{- j π f T} sinc (f T) \\ = e^{- j π f T} sinc (\frac{f}{f_{s}}) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$

Это указывает на линейный фазовый фильтр с постоянной задержкой, равной половине периода выборки, , и с коэффициентом усиления, который уменьшается с увеличением частоты . Это мягкий эффект фильтра нижних частот. При постоянном токе коэффициент усиления равен 0 дБ, а при Найквисте коэффициент усиления равен -3,9224 дБ. Таким образом, в изображении основной полосы частот некоторые высокочастотные компоненты немного уменьшены. $\frac{T}{2}$ $f$ $f=0$ $f=\frac{f_\text{s}}{2}$

Как и в случае дискретизированного сигнала , в дискретизированном сигнале имеются изображения с целыми кратными частоты дискретизации, но эти изображения значительно уменьшены по амплитуде (по сравнению с изображение основной полосы), потому чтопроходит через ноль, когда для целого числа , которое не равно 0, что находится прямо в середине этих изображений. $x_\text{s}(t)$ $x_\text{DAC}(t)$ $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ $f = k\cdot f_\text{s}$ $k$

Заключительное:

Удержание нулевого порядка (ZOH) - это линейная не зависящая от времени модель восстановления сигнала, выполняемая практическим цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП), который поддерживает выходную константу при значении выборки, , до тех пор, пока не будет обновлено следующий образец . $x[n]$ $x[n+1]$
Вопреки распространенному заблуждению, ZOH не имеет ничего общего со схемой выборки и удержания (S / H), которую можно обнаружить перед аналого-цифровым преобразователем (АЦП) . Пока ЦАП поддерживает выходное значение постоянным в течение каждого периода выборки, не имеет значения, имеет ли АЦП сигнал S / H или нет, эффект ZOH сохраняется. Если ЦАП выводит что-то отличное от кусочно-постоянного вывода (например, последовательность узких импульсов, предназначенных для аппроксимации импульсов Дирака), изображенных выше как , то эффект ZOH отсутствует (что-то еще вместо этого) есть ли цепь S / H, предшествующая АЦП или нет. $x_\text{DAC}(t)$
Чистая передаточная функция ZOH - а чистая частотная характеристика ZOH - Во многих учебниках пропущен фактор в знаменателе передаточной функции, и это ошибка.
$H_{ZOH} (s) = \frac{1 - e^{- s T}}{s T}$ $H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$ $H_{ZOH} (j 2 π f) = e^{- j π f T} sinc (f T)$ $H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$ $T$
ZOH значительно уменьшает изображения дискретизированного сигнала , но не устраняет их. Для устранения изображений нужен хороший фильтр нижних частот, как и раньше. Кирпичные стены LPF являются идеализацией. Практический ФНЧ также может ослаблять изображение в основной полосе (которое мы хотим сохранить) на высоких частотах, и это затухание должно учитываться как затухание, возникающее в результате ZOH (которое составляет менее 3,9224 дБ затухания). ZOH также задерживает сигнал на половину периода выборки, что может потребоваться принять во внимание (наряду с задержкой фильтра LPF против формирования изображения), особенно если ZOH находится в контуре обратной связи. $x_\text{s}(t)$

— Роберт Бристоу-Джонсон
источник

Я признаю, что ваш ответ чище и немного тщательнее, чем мой. Я все еще оставался, задаваясь вопросом, что было большим показом? Может быть, вы хотели бы подчеркнуть трюм нулевого порядка в качестве модели в DAC-выход?

— Тимо

в вашем ответе есть некоторые ошибки. например, он не показывает 1/2 выборки задержки в частотной характеристике. извините, что так получилось, что наша награда (которая была моей и теперь должна быть вашей ) ушла в туалет.

— Роберт Бристоу-Джонсон

e^{- i π f T}

$e^{-i \pi f T}$

@ Тимо, теперь у тебя в два раза больше, чем у меня. когда ты собираешься опубликовать награду, на которую я могу нанести удар? :-)

— Роберт Бристоу-Джонсон

Справедливо, я должен попытаться что-то придумать: D

— Тимо

Какова роль удержания нулевого порядка в гибридной аналоговой / цифровой системе выборочных данных?

Настроить

Идеальный отбор проб и реконструкция

Неидеальная выборка

Неидеальная реконструкция

Удержание нулевого порядка играет роль аппроксимации дельта- и -функций, появляющихся в теореме выборки, в зависимости от того, что подходит.sincsinc\mathrm{sinc}

Подвести итоги:

Удержание нулевого порядка играет роль аппроксимации дельта- и -функций, появляющихся в теореме выборки, в зависимости от того, что подходит. $\mathrm{sinc}$