Почему интеграл равен нулю

9

Интересно, почему в предположении, что то ? $\omega \gg \frac{1}{T}$ $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

Поскольку интеграл должен быть похож на $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ от $0$ до $T$ и после добавления значения мы получим:

\frac{- \cos (ω T) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— user59419
источник

9

Я голосую за то, чтобы закрыть этот вопрос как не по теме, потому что он не относится к электронике и является чисто математическим вопросом и должен принадлежать на math.stackexchange.com

— efox29

4

Точно нет. Эта оценка используется во всех системах связи и не является чисто математическим вопросом, поскольку с точки зрения математики только этот интеграл не всегда равен нулю

— user59419

Вы имеете в виду

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$ ?

— Чу

Нет, там нет . Если присутствует это имеет смысл, и я видел это в разных местах.

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

— user59419

6

Если вы говорите о телекоммуникациях, я предполагаю, что мы говорим о высоких частотах. Если это так:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ варьируется от до , если вы разделите это на большое число, вы получите примерно ноль. Чтобы дать вам представление: для частоты около (которая считается "сверхнизкой" ), результат будет В МАКСИМАЛЬНОМ . $0$ $+2$
$1\;\text{kHz}$ $0.002$

— FMarazzi
источник

3

Гораздо лучшее объяснение, чем мой метод грубой силы.

— Арсенал

1

Я не думаю, что это полный ответ: даже для небольших значений возможно удовлетворение , если достаточно велик.

ω

$\omega$

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$

T

$T$

— Илмари Каронен

1

@ IlmariKaronen T никогда не бывает достаточно большим в телекоммуникациях.

— FMarazzi

4

Увеличивая частоту, мы помещаем больше периодов колебаний в интервал интегрирования.

Поскольку интеграл синуса по одному периоду равен нулю, мы должны рассматривать только «неполный» период в конце интервала интегрирования.

Когда мы увеличиваем частоту, область этого незавершенного периода становится все тоньше и тоньше (что объясняет в определителе). $\omega$

— walljam7
источник

3

Если я подключу некоторые значения, я получу следующее:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ результат

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Теперь я не уверен, какой порядок величины означает и насколько мал должен быть результат, который должен рассматриваться как , но он стремится к нулю, если он намного больше. $>>$ $\approx 0$

Какие типичные значения для и T вы смотрите? $\omega$

Обновление (из-за комментариев):

Как хорошо объяснил FMarazzi, для случая, когда равен -1, есть верхняя граница , поэтому у вас будет , то есть абсолютный максимум, который вы когда-либо получите для любого Т. $\cos(\omega T)$ $\frac{2}{\omega}$

Поэтому, если вы выберете значение для T, вы получите максимум для данного значения в котором таблица превратится в: $\omega$

$\omega \rightarrow$ максимально возможное значение

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

И так далее. Я не знаю, в каком контексте используется аппроксимация, но, как отмечается в комментариях, это относится к системам связи, и я предполагаю, что речь идет не о некотором UART на скорости 9600 бод, а о чем-то вроде Ethernet или более быстрых вещах, поэтому имеет порядок или выше, для которого результат интеграла становится небольшим и, вероятно, не способствует другим условиям интереса. $\omega$ $10^7$

— Арсенал
источник

Спасибо. Ваш вопрос определенно имеет смысл, и это именно моя проблема, потому что диапазон T и w не задан, а упомянуто только условие, что wT >> 1. Я думал, что если T = 1000 и w = 1, то интеграл не равен нулю.

— user59419

Если T произвольно, площадь под sin (wt) будет, как правило, отличной от нуля. Там должно быть другое ограничение.

— Чу

@ Чу Я не говорю, что это будет 0, просто оно очень близко к 0, настолько близко, что в практических целях им можно пренебречь (это обычное упрощение, чтобы сделать вещи разрешимыми для людей). FMarazzi фактически дал лучший анализ верхней границы результата.

— Арсенал

1

@ Арсенал, но вы приняли значение для T. В исходном вопросе такой спецификации нет - и w, и T могут свободно бродить. Таким образом, интеграл может быть далеко от нуля

— Чу

@ Чу, да, это было немного недальновидно. Я обновил свой ответ, чтобы прояснить суть. Это не может быть далеко от нуля для высших омега.

— Арсенал

0

В написанном уравнении большее значение в среднем приведет к меньшему значению интеграла, но большее значение не даст. $\omega$ $T$

Я подозреваю, что нужно больше контекста, чтобы правильно понять, что имеется в виду.

В частности, нам нужно подумать о том, что именно мы подразумеваем под « ». « », вероятно, следует понимать как «пренебрежимо малый», но то, что означает «пренебрежимо малый», сильно зависит от контекста. Если есть некоторое связанное значение, которое увеличивается с увеличением значений то может оказаться, что результат интеграла, когда большое велико, но мало, все же можно считать пренебрежимо малым. $\approx 0$ $\approx 0$ $T$ $T$ $\omega$

— Питер Грин
источник