Вычислить минимальное количество резисторов 120 Ом, чтобы получить сопротивление 80 Ом?

28

Недавно мне пришлось пройти тестирование по базовой электронике. Я не правильно понял один вопрос, но я не совсем понимаю, почему.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Возможные ответы на этот вопрос 2, 3, 4 and 6. Единственный ответ, который я могу придумать 6, с резисторами, расположенными, как показано ниже. Но 6это не правильный ответ.

Вопрос:

Сколько резисторов требуется и для их размещения?

схематический

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Я знаю только основы электроники, поэтому надеюсь, что мои мысли верны.

resistors

— Мариус Шер
источник

10

@ Аутистично, а в паралелле 120 и 120 не будет 60?

— Мариус Шер

3

может быть, Аутизм был артистичным

— Марла

8

Число три. Вывод этой комбинации оставлен читателю в качестве упражнения ... но возможностей очень много.

— Крис Страттон

2

Это проблема, которая может победить нас всех. Иногда самое простое решение стоит перед нами. Я поощряю подобные вопросы. Мне очень нравится смотреть в интервью этот тип вопросов. Мартин, не чувствуй себя плохо. , Я сам был потерян на этом типе. Мы заперты в наших собственных пределах

— Марла

4

Я имел в виду 120 в параллельном соединении с двумя резисторами серии 120 Ом.

— Аутизм

39

120 || (120 + 120) Если два 120 параллельно дают 60, вы хотите, чтобы одна из ветвей была немного выше, так что ... это следующая вещь, которую нужно попробовать.

И метод в целом верен для получения 2/3-значного резистора, использующего только одну и ту же ячейку. И в целом для решения подобных проблем стоит помнить, что эквивалентное сопротивление двух параллельных резисторов меньше, чем сопротивление одной из ветвей. Вы также можете получить 3/4 (так 90), например, добавив еще один к ветви.

NB: Благодаря работе Массимо Ортолано , теперь я знаю, что то, что я сделал выше, следуя только интуиции, это то, что я в основном следовал пути поиска, указанному ниже в дереве Штерна-Броко :

— шипение
источник

Вау, спасибо за это! Было бы очень полезно, если бы они учили этот простой метод в классе ..

— Мариус Шер

10

Цель образования часто состоит в том, чтобы вызвать открытие, а не просто рассказать вам вещи.

— Крис Страттон

3

Также codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz

65

Прямое решение может быть найдено путем применения непрерывных дробей .

Если то, что у вас есть, составляет 120 Ом, а то, что вы хотите - 80 Ом, запишите дробь:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Поскольку целочисленная часть равна нулю, вы начнете с параллельного размещения резисторов. Обратить дробную часть:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Это говорит о том, что у вас будет 1 резистор параллельно с некоторым количеством резисторов в серии. Снова инвертируем дробную часть:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Это говорит о том, что вам нужно 2 резистора в серии. Поскольку здесь нет дробной части, все готово.

Ответ всего 3 резистора.

— Дэйв Твид
источник

15

Комбинации резисторов непрерывными дробями .... аккуратные.

— Ясен

1

Как вы думаете, этот алгоритм дает минимальное решение [по количеству резисторов] в целом? Похоже, недавно была опубликована статья на эту тему, но, похоже, это обзор, ориентированный на образование. Не вижу упоминания о минимальности.

— Fizz

2

Также math.stackexchange.com/questions/14645/… Обратите внимание, что принятый ответ на самом деле неверен!

— Fizz

6

@RespawnedFluff: нет, обычно это не дает минимального решения. Использование непрерывного расширения дроби дает решение, состоящее только из параллельных и последовательных комбинаций, но, как правило, решения с меньшим количеством резисторов могут быть найдены с учетом также мостовых резисторов. Можно показать, что для плоских сетей проблема эквивалентна проблеме заполнения прямоугольников целочисленными квадратами . Если затем рассматривать также неплоские сети, вероятно, можно найти решения с еще меньшим количеством элементов.

— Массимо Ортолано

3

В целях [лучшего] поиска ключевых слов решение, указанное Дейвом, основано на приближении дерева Штерна-Броко действительного числа. Я узнал об этом, читая, кстати, статью Массимо Ортолано, которая также свободно доступна на arxiv .

— Fizz

20

Вы можете изменить свое решение, поменяв местами последовательный и параллельный порт:

схематический

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Затем вы можете сгруппировать R2, R3, R5 и R6 в одну группу 2x2:

схематический

^{смоделировать эту схему}

$120\Omega$ $120\Omega$

схематический

^{смоделировать эту схему}

— чокнутый урод
источник

1

Это то же самое, что сказал пользователь 92407 на 3 часа раньше, хотя и с диаграммой.

— Дэйв Твид

1

Тем не менее, я считаю это дополнение полезным; на самом деле он использует эквивалентную геометрическую задачу, указанную Массимо Ортолано . Четыре сопротивления, которые можно заменить, образуют [больший] квадрат.

— Fizz

7

Возьмите свое решение, но без центральной точки посередине: вы можете переставить это как три параллельные секции по 120 + 120 Ом каждая (соединение средних точек не имеет значения, так как все они имеют одинаковое напряжение). Теперь две из трех параллельных секций 120 + 120 Ом снова объединяются в 120 Ом, так что вы можете заменить эти 4 резистора из двух параллельных групп на один, оставив только один резистор 120 Ом параллельно 120 + 120 Ом.

Существует множество решений, доказывающих правильность этого решения, если оно у вас есть. Но эта перестановка показывает, как найти ее, не возвращаясь к математическим методам проб и ошибок.

— user92407
источник

1

На самом деле это связано с методом проб и ошибок [в целом]. Не существует известного решения проблемы минимального разбиения прямоугольника на целочисленные квадраты , которая не требует исчерпывающего поиска. Хотя есть некоторые эвристики, которые сокращают дерево решений, но они не гарантируют минимальное решение.

— Fizz

4

Рассматривая ответ @ RespawnedFluff, можно найти следующий способ:

Какие у меня резисторы, хорошо 120.
Что мне нужно сделать, 80
Какие уравнения мы знаем? Ну, два резистора последовательно или параллельно являются простейшей отправной точкой. Очевидно, что серии не помогают сразу - это увеличит сопротивление, а не уменьшит его. Так что нам нужно будет попробовать параллель. Мы знаем уравнения:

\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Итак, возможно, давайте начнем с этого:

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

$R_1=120$ $R_2$
$R_2$ $R_1$ $R_2$

Этот подход довольно итеративный, но в этом случае он быстро нашел бы как полученный ответ (с использованием 6 резисторов), так и ответ, полученный @RespawnedFluff (с использованием 3 резисторов).

$180\Omega$ $120\Omega$ $60\Omega$

$R_2$ $R_2$

— Том Карпентер
источник

Исправил мой ответ. Я полностью испортил свое объяснение.

— Том Карпентер

Если одна ветвь резистора зафиксирована, это легко решить (или определить, что решения [целое число] не существует). Я до сих пор не знаю, как решить даже с двумя ветками, не говоря уже о целом. Это более сложное диофантово уравнение.

— Fizz

Вероятно, проблема в том, что NP-полная, поскольку перечисление далеко идет: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz,

1

Основное сопротивление в серии и сопротивление в параллельной логике. Очень просто..

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$

$R1 = 120\Omega$

$R2 = 240\Omega$

Но мы не можем использовать резистор 240 Ом, так как сказано, что у нас резисторы только 120 Ом. Поэтому вместо 240 Ом мы будем использовать 120 Ом + 120 Ом (последовательно) параллельно с одним резистором 120 Ом.

— Рохит Дани
источник

4

Это то же самое, что сказал Том Карпентер 11 часами ранее. Попробуем избежать дублирования ответов.

— Дэйв Твид