Почему преобразование Фурье одиночного синусоидального цикла не является одним столбцом?

Я пробовал разные коды преобразования Фурье на синусоидальных волнах, и все они генерируют распределенный спектр с резонансом на частоте сигнала, когда они теоретически должны отображать одну полосу.

Частота дискретизации оказывает небольшое влияние (здесь 10 кГц), однако количество циклов:

Один цикл:

100 циклов:

100000 циклов:

Похоже, преобразование Фурье сходится только для бесконечного числа циклов, почему это так? Разве временное окно ровно одного цикла не должно приносить те же результаты, что и N циклов?

Применение: Это как из любопытства, так и потому, что я хочу узнать, насколько шаговая реакция системы первого порядка будет вызывать резонанс механической сборки. Поэтому мне нужно точное преобразование Фурье ответа ... которому я больше не доверяю. Что я мог бы сделать, чтобы улучшить точность, основываясь на случае «синусоиды»?

PS: Эти конкретные скриншоты основаны на коде здесь .

Это оконный артефакт.

Связанный код дополняет образец сигнала 10000 нулями, так что длина равна степени двух.

%% Author :- Embedded Laboratory

%%This Project shows how to apply FFT on a signal and its physical 
% significance.

fSampling = 10000;          %Sampling Frequency
tSampling = 1/fSampling;    %Sampling Time
L = 10000;                  %Length of Signal
t = (0:L-1)*tSampling;      %Time Vector
F = 100;                    %Frequency of Signal

%% Signal Without Noise
xsig = sin(2*pi*F*t);
...

%%Frequency Transform of above Signal
subplot(2,1,2)
NFFT = 2^nextpow2(L);
Xsig = fft(xsig,NFFT)/L;
...

Обратите внимание, что в приведенном выше коде FFT берется с размером FFT, NFFTкоторый на следующую степень на 2 больше, чем длина сигнала (в данном случае, 16 384). Из документации Mathworksfft() :

Y = fft(X,n)возвращает n-точечное ДПФ. fft(X)эквивалентно fft(X, n)где nразмер Xв первом не единственном измерении. Если длина Xменьше чем n, Xдополняется конечными нулями по длине n. Если длина Xбольше чем n, последовательность Xусекается. Когда Xиспользуется матрица, длина столбцов корректируется таким же образом.

Это означает, что вы на самом деле не берете БПФ «синусоидальной волны» - вы берете БПФ синусоиды с плоским сигналом после нее.

Это эквивалентно взятию БПФ синусоиды, умноженной на функцию квадратного окна. Спектр БПФ представляет собой свертку частотного спектра синусоидальной волны (импульсной функции) с частотным спектром прямоугольной волны (sinc (f).)

Если вы измените его L = 16,384так, что сигнал не будет заполнен нулями, вы будете наблюдать perfectБПФ.

Другие ключевые слова для поиска: "Спектральная утечка", "Оконная функция", "Окно Хэмминга".

Редактировать: Я убрал некоторые материалы, которые я написал по этой теме еще в университете, которые идут существенно более подробно. Я разместил это в своем блоге .