Поляки и участки Боде

У меня есть три вопроса, которые беспокоили меня долгое время:

1. Мы говорим, что на графике Боде при падении полюса наблюдается усиление на 20 дБ за десятилетие. Но разве полюсы не определены как значения делающие передаточную функцию бесконечностью? Так почему же в этот момент усиление не увеличивается, а падает?$s$

2. Физически, что происходит, когда мы питаем систему с полюсной частотой?

3. Также рассмотрим передаточную функцию . Система имеет полюс в точке . То есть для полюса и . Но когда мы применяем синусоидальный сигнал к его входу и рисуем график Боде, почему мы говорим, что есть полюс со скоростью 2 рад / с (хотя для полюса и )?s = ( - 2 + j 0 ) σ = - 2 ω = 0 ω = 0 σ = - $1/(s+2)$$s=(-2+j0)$$\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$$\sigma =-2$

График Боде - это не график, который отображает передаточную функцию ( ) против s . H ( s ) - сложная функция, и ее график величины фактически представляет поверхность в декартовой системе координат. И эта поверхность будет иметь пики, идущие в бесконечность на каждом полюсе, как показано на рисунке:$H(s)$$s$$H(s)$

График Боде получается путем подстановки в H ( s ), а затем представления его в полярной форме H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) дает график зависимости Боде, а ϕ ( ω ) - график зависимости Боде.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

График величины Боде представляет собой асимптотическое приближение величины передаточной функции ( ) к логарифму частоты в радианах / с ( log 10 | ω | ) с | H ( s ) | (выражено в дБ) по оси Y и log 10 | ω | на оси х.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Подходя к вопросам:

1. На полюсах сложная поверхность вершины в бесконечность не | H ( ω ) | ,$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Когда система питается от полюсной частоты, выход коспонсора будет иметь ту же частоту, но амплитуда и фаза будут меняться. Значение можно определить, подставив частоту в радианах / с в и ϕ ( ω ) соответственно.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Полюс при -2 рад / с и 2 рад / с одинаково влияет на , И наш интерес в частотной характеристике. Поэтому нам нужна только положительная часть этого.$|H(\omega)|$

Пытаясь понять передаточные функции, я думаю, что «аналогия с резиновым листом» очень полезна. Представьте себе эластичный резиновый лист, покрывающий сложную плоскость, и представьте, что в каждом нуле передаточной функции лист прикреплен к земле, а на каждом полюсе есть буквально тонкий полюс, толкающий резиновый лист вверх. Величина частотного отклика представляет собой высоту резинового листа вдоль оси j ω .$s$$j\omega$

1. Из приведенной выше аналогии, конечно, усиление идет вверх к полюсу. Но, удаляясь от полюса, вклад полюса заставляет передаточную функцию понижаться (например, приближаться к следующему нулю). Представьте простую систему, которую вы привели в качестве примера в своем третьем вопросе. Он имеет действительный полюс при и, благодаря этому полюсу, также имеет ноль при s 0 = ∞ . Таким образом, удаляясь от полюса с увеличивающейся частотой, передаточная функция понижается, потому что резиновый лист прилипает к земле на бесконечности. Математически это также легко увидеть: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ В децибелах получаем 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ Дляω≫2второе слагаемое в правой части (1) можно аппроксимировать как -10log10( $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ которая является прямой линией с уклоном- $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ за десятилетие$-20\,\text{dB}$

2. $H(s)=\frac{1}{s+2}$$x(t)=e^{-2t}$$y(t)=te^{-2t}$$t$$0$$t$

3. $2$$2$$-20$$\omega\gg 2$$2$

$s$$j\omega$$\omega_p=1000$$Q_p=1.3$

«S» в ваших уравнениях является константой в функции exp (s * t). Итак, когда s - действительное число, эта функция времени является экспоненциально растущей или падающей функцией. Ваш пример с s = -2 - экспоненциально падающая функция. Для любого полюса «число» выход будет расти, когда вы применяете вход для этого «числа». Если вы примените экспоненциально падающий сигнал к вашей примерной схеме, выходной сигнал уйдет в бесконечность. (Обратите внимание, однако, что невозможно генерировать сигнал, который всегда экспоненциально падает, потому что такой сигнал иногда очень велик в прошлом). Когда вы говорите о частотах, таких как 2 радиана / сек, вы говорите о полюсах при j * 2, а не 2, поэтому эти сигналы являются синусоидальными. Можно генерировать сигналы синусоидальной формы (по крайней мере, в течение довольно длительного времени).