Почему синусоида предпочтительнее других?

22

Почему ученые решили использовать синусоидальную волну для представления переменного тока, а не другие формы волны, такие как треугольник и квадрат?

Какое преимущество синус предлагает перед другими формами сигнала при представлении тока и напряжения?

ac sine

— Rookie91
источник

32

Никто не «выбрал» эти формы волны, это то, что естественно появляется в генераторах.

— PlasmaHH

5

Я предлагаю вам взглянуть на то, как эти вещи работают: en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator, и если вы можете сконструировать такой, который дает мне треугольную или квадратную волну, я бы хотел, чтобы она была, пожалуйста.

— PlasmaHH

10

Фурье выяснил, что любой сигнал / форма волны может быть описана как наложение нескольких синусов.

— HKOB

2

@PlasmaHH Можно создавать генераторы для сигналов, отличных от синуса. Достаточно взглянуть на заднюю ЭДС ДТП, которая имеет трапециевидную форму (в общем случае). Но да, без дополнительных усилий, синусоида - это то, что вы легко получаете.

— Роланд Мизлингер,

3

@Plutoniumsmuggler Это именно то, что я сказал! Вы утверждали, что каждая функция может быть представлена в виде ряда Фурье; Я исправил это для каждой периодической функции. (И, на самом деле, вам, вероятно, нужно ограничить еще больше, включая некоторые подходящие понятия непрерывности и дифференцируемости.)

— Дэвид Ричерби,

52

Круговое движение создает синусоидальную волну естественным образом:

введите описание изображения здесь

Это просто очень естественная и фундаментальная вещь, и попытка создать волны, которые отличаются друг от друга, либо более сложна, либо приводит к нежелательным побочным эффектам.

введите описание изображения здесь

Движение вверх и вниз (по своей природе) создает синусоидальную зависимость от времени:

введите описание изображения здесь

— Энди ака
источник

2

Хорошие пикси Энди, правила SHM. (+1)

— Джим Дирден

1

гармоническое колебание FTW

— vaxquis

5

IIRC движение пружины только приблизительно синусоидой, и приближение хорошо только для небольших отклонений. Но вращательный корпус как раз и является причиной, по которой переменный ток является синусоидальным. + 1`

— Бен Фойгт

2

Если позволите, я хотел бы добавить, что, поскольку синусоиды являются фундаментальными, вы можете построить другие формы сигналов из них; Ряд Фурье и преобразование, кто-нибудь?

— Сергей Колодяжный

2

Синусоиды также отличаются тем, что они дифференцируются и интегрируются в другие синусоиды.

— Роман Старков

20

Волны косинуса и синуса (фактически их составляющие в форме комплексных экспонент) являются собственными функциями линейных, не зависящих от времени систем, имеющих зависящий от времени отклик системы Если вы строите какую-либо сеть из линейных пассивных компонентов (резисторов, катушек индуктивности, конденсаторов в этом StackExchange) и подаете в нее непрерывный синусоидальный сигнал, то любая точка в сети будет передавать непрерывный синусоидальный сигнал, возможно, различной фазы и величины.

\begin{aligned} f (a (t) + b (t), t_{0}) & = f (a (t), t_{0}) + f (b (t), t_{0}) & linearity \\ f (a (t + h), t_{0}) & = f (a (t), t_{0} + h) & неизменность времени \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

Никакая другая форма сигнала, как правило, не будет сохранена, так как отклик будет отличаться для разных входных частот, поэтому, если вы разложите некоторые входные данные на его сининоидные компоненты с уникальной частотой, проверьте индивидуальные отклики сети на них и заново соберите результирующие синоидные сигналы, результат обычно не будет иметь таких же отношений между его синоидными компонентами, как первоначально.

Таким образом, анализ Фурье очень важен: пассивные сети прямо реагируют на синоидные сигналы, поэтому разложение всего на синоиды и обратно является важным инструментом для анализа схем.

— user66031
источник

1

Разве это не круговой аргумент? Если вы разложите входные данные на другие компоненты (например, треугольные волны), вы получите другие результаты.

— Random832

9

@ Random832 Нет, синусоидальный вход в пассивную сеть RCL всегда дает синусоидальный выход (ослабленный и сдвинутый по фазе на разную величину в зависимости от частоты). Чтобы понять почему, посмотрите механический резонанс, показанный в ответе Энди Ака, электрический резонанс которого прямой аналог. Вход треугольника не дает выход треугольника. Анализ Фурье говорит нам, что треугольная волна состоит из следующих амплитуд, частот: a, fa / 3,3f, a / 5,5f и т. Д. Если мы разложим треугольник на эти синусоиды и проанализируем их отдельно, мы можем сложить их вместе и посмотрите, какой сигнал будет генерировать схема.

— Уровень Река Св

1

@ Random832 Если вы попытаетесь проанализировать вход и выход системы RCL с помощью треугольных волн, например, вы обнаружите нелинейный отклик. С волнами синус / косинус вы получаете линейный отклик, что важно.

— Арон

@Aron: С этим связан тот факт, что сложение двух синусоид с одинаковой частотой, но с фазой, которая отличается на величину меньше 180 градусов, даст одну синусоидальную волну той же частоты и промежуточную фазу. Однако сложение двух сигналов согласования частот с разными фазами большинства других типов волн приведет к форме волны, которая не похожа на исходную.

— суперкат

14

Вещи колеблются в соответствии с синусом и косинусом. Механический, электрический, акустический, вы называете это. Повесьте массу на пружину, и она будет подпрыгивать вверх и вниз на своей резонансной частоте в соответствии с функцией синуса. Цепь LC будет вести себя так же, только с токами и напряжениями вместо скорости и силы.

Синусоида состоит из одного частотного компонента, и другие сигналы могут быть получены из сложения нескольких разных синусоид. Вы можете увидеть частотные компоненты в сигнале, посмотрев на него на анализаторе спектра. Поскольку анализатор спектра охватывает узкий фильтр в диапазоне частот, на который вы смотрите, вы увидите пик на каждой частоте, содержащейся в сигнале. Для синусоиды вы увидите 1 пик. Для прямоугольной волны вы увидите пики af, 3f, 5f, 7f и т. Д.

Синус и косинус также являются проекцией вращающихся вещей. Возьмите генератор переменного тока, например. Генератор переменного тока вращает магнит рядом с катушкой провода. Когда магнит вращается, поле, которое падает на катушку из-за магнита, будет изменяться в зависимости от синуса угла вала, создавая напряжение на катушке, которое также пропорционально функции синуса.

— alex.forencich
источник

Спасибо @ alex.forencich, так что синус и косинус в фундаментальных действиях вокруг нас правильно.

— Rookie91

1

Возможно, вы могли бы включить в свой ответ, что волны более высокой частоты, как правило, нежелательны , так как это приводит к большим емкостным и индуктивным потерям, а также к большему шуму (так как присутствуют более высокие частоты), который необходимо отфильтровать с помощью источников питания (например, в вашей настройке Hi-Fi).

— Sanchises

1

Как примечание: синус и косинус настолько фундаментальны, потому что они появляются естественным образом в дифференциальных уравнениях, а многие грани вселенной хорошо моделируются дифференциальными уравнениями (включая E & M, пружины и т. Д.)

— Cort Ammon - Reinstate Monica

Во-вторых, концепция частотных компонентов (против периодичности) действительно имеет смысл только тогда, когда вы начинаете с ортогонального набора сигналов для использования в качестве эталона - я думаю, что синусоидальную волну можно рассматривать с различными частотными компонентами треугольных волн - синусоида там особенная из-за свойств линейности, так что мы можем разложить сигнал на синусы и применить его к пассивной сети (линейная система)

— user3125280

1

Тот факт, что вы можете разложить форму сигнала на набор другой формы волны, не означает, что эта другая форма волны как-то более «фундаментальна». Конечно, можно разложить синусоиды на что-то другое. Однако электронные схемы ведут себя с точки зрения колебаний и синусоид. Если вы построите фильтр низких частот 100 Гц и поместите в него прямоугольную волну 50 Гц, вы получите синусоиду 50 Гц с другой стороны. Не прямоугольная волна или треугольная волна. Вот почему синусоидальные волны являются фундаментальными.

— alex.forencich

9

В более математическом и физическом смысле, почему синус и косинус являются фундаментом волн, могут иметь корни в теореме Пифагора и исчислении.

Теорема Пифагора дала нам этот драгоценный камень с синусами и косинусами:

{s i n}^{2} (t) + {c o s}^{2} (t) = 1, t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

Это привело к тому, что синусы и косинусы уничтожают друг друга в законах обратных квадратов, которые разбросаны по всему физическому миру.

И с исчислением мы имеем это:

\frac{d}{d x} s i n x = c o s Икс

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{d}{d x} c o s x = - s i n x

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

Это означает, что любая форма операции исчисления сохранит синусы и косинусы, если будет идеально один из них.

Например, когда мы решаем мгновенное положение объекта в законе Гука (подобная форма также везде), мы имеем это:

- k x = F = m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

$x=\mathrm{sin}(t)$

— Макстон Чан
источник

+0.(9); Кроме того, IMO стоит отметить, что решение большинства обычно используемых дифференциальных уравнений (волновых уравнений, струнных уравнений, уравнений жидкости) требует x=e^(lambda*t)замены, которая впоследствии создает решение, которое может быть преобразовано в x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)форму, по существу, приводя к расширению синуса / косинуса в решениях. таких уравнений.

— vaxquis

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$

Да, точно. Они также могут быть выражены как косинус; Я только что указал на это, так как IMO ясно показывает, что все три формы (синус, косинус, синус + косинус) эквивалентны и, фактически, используются взаимозаменяемо, в зависимости от потребностей и контекста, как можно видеть, например, на en.wikipedia .org / wiki / Harmonic_oscillator или en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

— vaxquis

9

Ученые не выбрали синусоидальную волну, это то, что они получили от генератора переменного тока. В генераторе переменного тока синусоида генерируется из-за движения ротора внутри магнитного поля. Нет другого способа сделать это иначе. Смотрите эту фигуру в Википедии. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

— obaej
источник

3

Синусоиды содержат только одну частоту. Квадратная или треугольная волна - это сумма бесконечного количества синусоидальных волн, которые являются гармониками основной частоты.

Производная идеальной прямоугольной волны (имеет нулевое время нарастания / спада) бесконечна, когда она изменяется от низкой к высокой или наоборот. Производная идеальной треугольной волны бесконечна сверху и снизу.

Одним из практических следствий этого является то, что труднее передавать сигнал квадрат / треугольник, скажем, по кабелю, чем сигнал, являющийся только синусоидальной волной.

Другое следствие состоит в том, что прямоугольная волна имеет тенденцию генерировать намного больше излучаемого шума по сравнению с синусоидальной волной. Поскольку он содержит много гармоник, эти гармоники могут излучать. Типичным примером являются часы на SDRAM на печатной плате. Если не направить его осторожно, он будет генерировать много излучений. Это может вызвать сбои в тестировании ЭМС.

Синусоидальная волна также может излучать, но тогда излучается только частота синусоидальной волны.

— Рейдар Джерстад
источник

Можно утверждать, что прямоугольные волны содержат только одну частоту. Синусоида - это сумма бесконечного количества прямоугольных волн.

— Джинави

@jinawee Вы могли бы, но есть другие вещи, которые делают синусоиды "фундаментальным" типом волны. Например, это единственный, который дифференцируется в себя (не учитывая фазовый сдвиг). Хотя физическое объяснение колеблющихся пружинящих систем мне нравится больше всего.

— Роман Старков

@jinawee, не могли бы вы доказать это, пожалуйста?

— Эрик Бест

@EricBest Я не знаю доказательства, но я имел в виду функции Уолша en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function , основанные на гильбертовом интервале [0,1]. Конечно, могут возникать некоторые подтексты, такие как равенство с точностью до множества нулей или тому подобное.

— Джинави

@jinawee: пропуск одной синусоидальной волны через линейную систему даст либо одну синусоидальную волну той же частоты, либо постоянный ток (который можно рассматривать как одну синусоидальную волну той же частоты, но нулевой амплитуды). Ввод суммы синусоид через такую систему даст тот же результат, что и прохождение каждой волны в отдельности и добавление выходных данных. Сочетание этих двух свойств является уникальным для синусоидальных волн.

— суперкат

3

Прежде всего, функции синуса и косинуса равномерно непрерывны (поэтому в их области нет разрывных точек) и бесконечно дифференцируемы на всей вещественной прямой. Они также легко вычисляются с помощью разложения в ряд Тейлора.

Эти свойства особенно полезны при определении разложения в ряд Фурье периодических функций на вещественной прямой. Таким образом, несинусоидальные формы волны, такие как квадратные, пилообразные и треугольные волны, могут быть представлены как бесконечная сумма синусоидальных функций. Следовательно, синусоидальная волна составляет основу гармонического анализа и является наиболее математически простой формой волны, которую можно описать.

— LapToppin
источник

2

Нам всегда нравится работать с линейными математическими моделями физических реальностей из-за простоты работы с ними. Синусоидальные функции являются «собственными функциями» линейных систем.

$\sin(t)$
$A\cdot\sin(t + \phi)$

Функция остается прежней и масштабируется только по амплитуде и сдвигается во времени. Это дает нам хорошее представление о том, что происходит с сигналом, если он распространяется через систему.

— Аксель Ванраес
источник

Спасибо @Axel Vanraes за ваш ценный вклад. Я очень ценю это.

— Rookie91

0

Синус / косинус являются решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

sin '= cos, cos' = - грех

Основные электронные элементы, такие как индукторы и конденсаторы, производят либо интеграцию дифференциации тока в напряжение.

Разлагая произвольные сигналы на синусоиды, дифференциальные уравнения могут быть легко проанализированы.

— TEMLIB
источник

0

Одним словом, один из способов взглянуть на это состоит в том, что гармонический ряд функций синуса и косинуса образует ортогональный базис линейного векторного пространства вещественных функций на конечном интервале времени. Таким образом, функция на временном интервале может быть представлена в виде линейной комбинации гармонически связанных функций синуса и косинуса.

Конечно, вы можете использовать какой-то другой набор функций (например, определенные вейвлеты), если они образуют действительный базисный набор, и таким образом разложить интересующую функцию. Иногда такие разложения могут быть полезны, но пока нам известны только специализированные приложения для них.

Принимая геометрическую аналогию: вы можете использовать неортогональную основу для описания компонентов вектора. Например, вектор в ортонормированной основе может иметь компоненты [1,8,-4]. В каком-то другом неортонормированном базисе он может иметь компоненты [21,-43,12]. То, что вы пытаетесь сделать, легче или труднее интерпретировать, чем этот набор компонентов, чем обычная ортонормированная основа.

— Восстановить Монику
источник

-3

меньше потерь
меньшее количество гармоник
нет помех в линии связи
очень меньше дистрофический эффект
машина запускает свою эффективность
очень очень мало переходного поведения в случае L и C

— Прадип Маурья
источник