Какая самая острая частотная характеристика для непричинного фильтра нижних частот, ступенчатая характеристика которого не выходит за пределы?

Фильтры низких частот Баттерворта, Бесселя, Чебычева и Синка используются в различных случаях, когда существуют разные компромиссы между наличием равномерно уменьшающейся частотной характеристики, равномерной фазовой характеристикой, крутой отсечкой или откликом «кирпичной стены». Я полагаю, что все такие фильтры могут, в некоторых случаях, иметь перерегулирование на своем шаговом ответе, означая, что их импульсный ответ в некоторых местах отрицателен.

Какова будет оптимальная частотная характеристика или какие типы частотных характеристик будут доступны в фильтре, единственным ограничением которого является то, что импульсная характеристика не может быть отрицательной в любом месте? Конечно, возможно иметь фильтр нижних частот, отвечающий такому ограничению, так как базовый RC-фильтр сделает это (хотя ответ такого фильтра немного грубоват). Будет ли оптимальная импульсная характеристика нормальной кривой распределения или чем-то еще?

filter dsp

— Supercat
источник

@supercat, если вы включите цифровую фильтрацию, это просто удивительно, как кирпичную стену ответ вы можете получить без перерегулирования.

— Кортук

@ Кортук: Правда? Я бы подумал, что было бы трудно избежать выброса, поскольку прямоугольная волна с кирпичной стенкой имеет небольшие пики, ширина которых приближается к нулю при увеличении частоты среза, а амплитуда - нет. Что будет хорошей ссылкой?

— суперкат

Вы говорите «не причинно-следственная» в вопросе, но все ваши примеры являются причинно-следственными. Что ты имеешь в виду? Не причинно-следственная связь требует, чтобы вы записали всю форму волны, а затем применили фильтр к записи. (Или, возможно, использование конденсаторов и крупных источников питания.)

— эндолит

@endolith: Какой будет оптимальный фильтр, если предположить, что он не является причинно-следственным.

— Суперкат

@Kortuk: отсечение сигнала в ноль полностью уничтожит все преимущества фильтрации. И в то время как я публикуюсь в DSP, мне также любопытны такие вещи, как устройства записи аудио фильмов (с интеллектуальной, а не практической точки зрения), где можно выполнить любую неотрицательную импульсную функцию, какую захочешь, с учетом ограничения ширины.

— суперкат

Ответы:

Я собираюсь перечислить несколько «фильтров, которые не выходят за пределы». Я надеюсь, что вы найдете этот частичный ответ лучше, чем вообще никакого ответа. Надеемся, что люди, которые ищут «фильтр, который не выходит за пределы», найдут этот список таких фильтров полезным. Возможно, один из этих фильтров будет адекватно работать в вашем приложении, даже если мы еще не нашли математически оптимальный фильтр.

причинно-следственные фильтры первого и второго порядка

Шаговый отклик фильтра первого порядка («RC-фильтр») никогда не отклоняется.

Шаговый отклик фильтра второго порядка («биквад») может быть спроектирован таким образом, чтобы он никогда не превышал допустимых значений. Существует несколько эквивалентных способов описания этого класса фильтра второго порядка, который не выходит за пределы шага ввода:

он сильно затухает или перегружен.
это не занижено.
коэффициент демпфирования (дзета) составляет 1 или более
добротность (Q) составляет 1/2 или менее
параметр скорости затухания (альфа) - это, по крайней мере, естественная угловая частота без демпфирования (omega_0) или более

В частности, топология фильтра Sallen-Key с единичным коэффициентом усиления с равными конденсаторами и равными резисторами критически затухает: Q = 1/2, и, следовательно, не перепадает на шаговом входе.

Фильтр Бесселя второго порядка слегка недемпфирован: Q = 1 / sqrt (3), поэтому он имеет небольшой выброс.

Фильтр Баттерворта второго порядка более слабый: Q = 1 / sqrt (2), поэтому у него больше перерегулирования.

Из всех возможных LTI-фильтров первого и второго порядка, которые являются причинными и не превышают допустимых значений, фильтр с «наилучшей» (самой крутой) частотной характеристикой - это «критически затухающие» фильтры второго порядка.

причинно-следственные фильтры высшего порядка LTI

Наиболее часто используемый причинный фильтр более высокого порядка, который имеет импульсную характеристику, которая никогда не бывает отрицательной (и, следовательно, никогда не выходит за пределы на шаговом входе), представляет собой «фильтр скользящего среднего», также называемый «фильтром скользящей средней » или « фильтром скользящего среднего». ».

Некоторым людям нравится пропускать данные через один фильтр с блок-каром, а выходные данные этого фильтра - с другим фильтром с блок-каром. После нескольких таких фильтров результат является хорошим приближением гауссовского фильтра. (Чем больше фильтров вы каскадируете, тем ближе конечный результат приближается к гауссовскому, независимо от того, с какого фильтра вы начинаете - прямоугольник, треугольник, RC первого порядка или любой другой - из-за центральной теоремы о пределе).

Практически все оконные функции имеют импульсную характеристику, которая никогда не бывает отрицательной, и поэтому в принципе может использоваться в качестве КИХ-фильтров, которые никогда не выходят за пределы шага ввода. В частности, я слышал хорошие вещи об окне Lanczos , которое является центральным (положительным) лепестком функции sinc () (и нулем за пределами этого лепестка). Несколько фильтров формирования импульсов имеют импульсную характеристику, которая никогда не бывает отрицательной, и поэтому могут использоваться в качестве фильтров, которые никогда не выходят за пределы на шаговом входе.

Я не знаю, какой из этих фильтров лучше всего подходит для вашего приложения, и я подозреваю, что математически оптимальный фильтр может быть немного лучше, чем любой из них.

нелинейные причинно-следственные фильтры

Медианный фильтр является популярным нелинейным фильтром , который никогда не проскакивает на входе ступенчатой функции.

РЕДАКТИРОВАТЬ: LTI не причинно-следственных фильтров

Функция sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) является собственным преобразованием Фурье, и я полагаю, что ее можно использовать в качестве некаузального фильтра нижних частот LTI, который никогда не срабатывает на пошаговый ввод.

Непричинный фильтр LTI, имеющий импульсную характеристику (sinc (t / k)) ^ 2, имеет частотную характеристику «abs (k) * triangle (k * w)». Когда вводится шаг, он имеет много пульсаций во временной области, но никогда не выходит за пределы конечной точки расчета. Выше высокочастотного угла этого треугольника он дает идеальное подавление в полосе останова (бесконечное затухание). Таким образом, в области полосы останова он имеет лучшую частотную характеристику, чем фильтр Гаусса.

Поэтому я сомневаюсь, что фильтр Гаусса дает «оптимальную частотную характеристику».

Я подозреваю, что в наборе всех возможных «фильтров, которые не выходят за пределы» не существует единственного «оптимального частотного отклика» - некоторые имеют лучшее подавление в полосе задержания, в то время как другие имеют более узкие полосы перехода и т. Д.

— davidcary
источник

Спасибо за ответ. Я бы не стал ограничивать свой вопрос линейными фильтрами, хотя, конечно, характеризовать частотную характеристику нелинейного фильтра может быть не совсем понятно. Как уже было отмечено, каскадный фильтр каскадных передач приводит к тому, что он приближается к гауссовскому. Мне было интересно, если фильтр Гаусса имеет оптимальную частотную характеристику, которая может быть получена без перерегулирования. При написании вопроса я думал о различных аналоговых процессах, которые выполняют что-то вроде определенного фильтра импульсной характеристики, например, размытие камеры или пикселей дисплея, чтобы минимизировать алиасинг.

— суперкат

Можно построить камеру так, чтобы каждый пиксель воспринимал различное количество света из разных точек вокруг центра. В идеале камера отфильтровывает все, что есть над Найквистом, не размывая ничего ниже, но на практике это вряд ли произойдет.

— суперкат

LTI? Вы никогда не определяете это. Добавление того, что это означает «линейный инвариант времени», вероятно, будет полезно.

— Коннор Вольф

Значит Q = 0.5 критически затухает? Для заданного порядка существуют ли несколько систем с критическим демпфированием? Биквад с Q = 0.5 называется фильтром Линквица-Райли LR2 . Похоже, что версии фильтра LR более высокого порядка имеют звуки в ответе шага.

— эндолит

«Каскадные фильтры с критическим демпфированием приведут к другому фильтру с критическим демпфированием». Так что просто продолжайте сбрасывать полюсы на -1, и он всегда будет иметь критическое демпфирование? (И приблизиться к ответу фильтра Гаусса при увеличении числа?)

— эндолит

Большинство фильтров, используемых в цифровом мире, являются просто выборочной версией аналогового аналога. Основная причина этого заключается в том, что до появления цифровых технологий было проделано много работы в области аналоговой фильтрации, поэтому вместо того, чтобы заново изобретать колесо, большинство из них использовали только предыдущие разработки. Однако преимущество цифровых технологий состоит в том, что фильтр более высокого порядка может быть достигнут гораздо проще, чем в аналоговом мире. Просто представьте себе сложную схему, которую вы получаете каждый раз, когда добавляете в проект еще один заказ.

Если вы собираетесь использовать фильтр с кирпичной стеной, то для начала неплохо начать с кривой Гаусса. Если вы знаете о Time Domain <-> Frequency Domain; Гауссовский превращается в гауссовский в другой области. По мере того как он становится намоткой в одном, он становится уже в другом. Таким образом, чтобы получить идеальный всплеск в частотной области, вам потребуется бесконечное количество выборок.

Если у вас есть Matlab, доступный для использования, вы должны проверить некоторые из встроенных инструментов проектирования фильтров. Вот ссылка, говорящая о Баттерворте и Бесселе . Средства проектирования позволяют указать определенные аспекты фильтра. Эти аспекты меняются для каждого типа фильтра, но некоторыми примерами являются Прополосная полоса, полоса останова, пульсация и т. Д. Если вы дадите конструктору необходимые ограничения, это либо выдаст ошибку (то есть, он не сможет сделать этот фильтр с этим типом фильтра ) или он даст вам фильтр с минимальным заказом, необходимым для соответствия спецификации.

— Kellenjb
источник

Gaussian соответствует требованиям для неотрицательного импульсной характеристики, но это не большая часть кирпичной стены. С другой стороны, Баттерворт, Бессель и Чебышев имеют синусоидальные колебания в своей импульсной характеристике, приводящие к выбросам. Из них фильтр Бесселя имеет наименьшее превышение, так как имеет почти плоскую групповую задержку (линейную фазу) в полосе пропускания.

— Eryk Sun

Кроме гауссовых, эти фильтры являются причинными. Для автономной обработки хорошо подойдет линейная фаза NNFIR (неотрицательная КИХ), или вы можете отменить фазовое искажение причинно-рекурсивного фильтра, используя технику фильтра ... Конечно, вам все еще нужен способ разработки ФНЧ NNIR для избегать перерегулирования Предложения кого-нибудь? Ссылки?

— Eryk Sun

@eryksun, в качестве примечания, если он будет колебаться в 1,05 раза от максимального значения, просто ослабьте его, чтобы остановить на 1,00, и ваш шаг отклика будет немного меньше, например, 0,96, когда стабильно. Проблема решена.

— Кортук

@Kortuk: проблема решена во временной области, но при этом ограничение не только нелинейное, но и открывает определенные части частотной области для передачи сигнала, который ранее не был. Он хочет максимально возможного пропускания / отсутствия проходного фильтра по частоте без превышения во временной области. Отсутствие выброса во временной области - это то же самое, что сказать, что импульсный отклик никогда не бывает отрицательным.

— Олин Латроп

@Kortuk: В некоторых доменах ноль находится около средней точки между максимумом и минимумом, а масштабирование сигнала до средней точки позволит избежать проблем с перерегулированием. В других областях, таких как визуализация, ноль - это минимум, и динамический диапазон там наиболее важен; как правило, было бы лучше иметь «размытый» фильтр, который не выходит за пределы, чем более резкий, который делает.

— суперкат