Какова функция ряда Фурье?

Что такое ряд Фурье? Для чего он используется?

Серия Фурье:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Термин 0 постоянная, это уровень постоянного тока. Можно было бы также написать без деления на два, но это соглашение. Слагаемые бесконечной суммы представляют собой сумму взвешенного синуса и взвешенного косинуса с одинаковой частотой. Если бы вы нарисовали их в виде векторов в сложной плоскости Аргана, вы бы увидели, что результатом снова является синус, но с другой амплитудой и сдвигом фазы. Поэтому уравнение также можно записать в виде $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Таким образом, мы имеем сумму синусов, все кратные частоты основной частоты , каждая из которых имеет свою амплитуду и фазу. $\omega_0$

Фурье доказал, что вы можете описать каждую повторяющуюся функцию таким образом. Иногда ряд бесконечен, иногда он имеет конечное число членов. Иногда термины отсутствуют, что означает, что их амплитуда равна нулю.

Один из самых известных рядов Фурье - это серия прямоугольных волн:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

или, расширен:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Так что это такая серия с отсутствующими терминами: у прямоугольной волны нет даже гармоник. На следующем рисунке показано, как это выглядит во временной области:

На верхнем рисунке показана сумма первых двух слагаемых, затем добавляется третий, а внизу четвертый. Каждый добавленный термин будет приближать форму волны к квадратной волне, и вам понадобится предел серии до бесконечности, чтобы получить идеальную прямоугольную волну.

Иногда трудно увидеть основной синус в этом. Возьмем, например, сумму синуса 3 Гц и синуса 4 Гц. Результирующий сигнал будет повторяться раз в секунду, это 1 Гц. 1 Гц является фундаментальной, даже если ее амплитуда равна нулю. Серия может быть написана как

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Все следующие члены также имеют нулевую амплитуду.

Каждый реализуемый аналоговый сигнал, все, что вы можете придумать или нарисовать на графике напряжения в зависимости от времени, может быть выражен в математических терминах как сумма бесконечного числа синусоидальных волн различных частот - что-то вроде этой формы:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Различные сигналы создаются путем изменения значений A, Bи Cт. Д. f1, f2И т. Д.

Когда кто-то ссылается на ряд Фурье, он обращается к выражению формы волны как к последовательности операций сложения, как описано выше.

Реально каждый аналоговый сигнал имеет НЕКОТОРЫЙ контент на каждой частоте - даже если амплитуда равна .1e-67, он все еще там. В идеале это не так - если я создаю чистую прямоугольную волну, то я точно знаю, что она состоит ТОЛЬКО из частот, нечетных кратных ее периоду. Таким образом, прямоугольная волна 1 Гц является суммой синусоидальной волны 1 Гц плюс синусоидальной волны 3 Гц и так далее по линии. Для других известных форм волны, таких как треугольные волны и линейные изменения, люди сделали вычисления относительно того, какие частоты присутствуют и в каком содержании.

Ряд Фурье является средством выражения периодической формы волны в виде (возможно, бесконечной) суммы «гармонических» синусоидальных форм волны.

Он также используется для выражения сигнала на ограниченном (компактном) временном интервале в виде бесконечной суммы синусоидальных сигналов.

По существу, путем установления взаимосвязи между сигналом во временной области (то есть сигналом, выраженным как функция времени) и эквивалентным сигналом в частотной области (то есть сигналом, выраженным как функция частоты), Фурье Серия позволяет проводить гармонический анализ сигналов и систем, который является основой теории радиопередачи, теории кодирования, теории управления, квантовой теории и многих других очень полезных областей техники.

В то время как выражение сигналов ряда Фурье на первый взгляд кажется более сложным, включая сложные выражения и «бесконечные суммы», в качестве математического инструмента они позволяют инженерам решать проблемы, которые не могут быть решены с помощью выражений в замкнутой форме.

Проще говоря, иногда полезно выразить изменение в пространстве и / или времени как изменение частоты и фазы. Особенно для периодических вариаций. Но даже когда изменение не является периодическим, при условии, что изменение ограничено некоторым интервалом в пространстве и / или времени, оно также будет ограничено соответствующим интервалом (шириной полосы) по частоте.

Применение серии Фурье сыграло важную роль в понимании ширины полосы канала для систем связи, разработке алгоритмов сжатия изображений и повышении надежности системы распределения электроэнергии.

Чтобы добавить некоторую практичность вышеупомянутым комментариям, ряды Фурье во временной области могут быть разложены на его компоненты частотной области с помощью таких алгоритмов, как FFT (быстрое преобразование Фурье) и DFT (дискретное преобразование Фурье). Одним из важных практических результатов применения алгоритмов является то, что при проведении НИОКР и лабораторных испытаний мы часто хотим измерить спектральную чистоту сигналов по отношению к минимальному уровню шума (например, SNR или динамический диапазон без паразитных помех), чтобы увидеть, насколько чистым или часто является неискаженный, наш сигнал содержания Если у нас есть выходные данные во временной области (например, преобразователь DA будет обрабатывать), мы не можем определить эти значения, просто взглянув на реакцию во временной области, поэтому часто на стороне моделирования мы будем использовать модуль DFT для преобразования сигнал временной области в спектральную (частотную) область. В лаборатории, на осциллографе, нам нужен какой-то инструмент, который может смотреть на спектральные свойства (обычно мы используем анализаторы спектра). Суть этих инструментов зависит от методов анализа Фурье и спектрального разложения. Таким образом, у вас есть практическая причина того, почему анализ Фурье важен в ЭЭ.