Почему индуктивность (L) пропорциональна квадрату разворота (N²)?

Начнем с уравнения Максвелла

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Мы берем поверхностную интеграцию обеих сторон для поверхности ( ) внутри среднего пути ( с ) ядра.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

$NI$$N$

Плотность магнитного поля внутри этих сердечников считается однородной. Итак, мы можем написать

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

$\ell_c$

$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

По определению индуктивность - это величина магнитного потока, генерируемого на каждый приложенный ток, то есть

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Итак, находим индуктивность системы как

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Но все другие источники ( пример ) дают индуктивность индуктора, как это

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Какую ошибку я совершил в своем выводе? Пожалуйста, объясните подробно.

$N^2$

Другой способ выразить эту зависимость - сказать: из-за магнитной связи между витками.

Подумайте об индукторе с одним витком (слева внизу), затем представьте, что этот виток разделен на два параллельных провода, которые намотаны очень плотно, так что они занимают практически одинаковое пространство (справа внизу).

Каждый из двух параллельных проводов для данного приложенного напряжения будет принимать половину тока однооборотного индуктора и вместе они будут иметь тот же ток, что и один виток:

Из-за этого каждый отдельный параллельный провод ДОЛЖЕН иметь удвоенное сопротивление отдельного провода и вместе, при параллельном подключении, иметь такой же импеданс, что и одиночный провод. Хорошо пока?

Теперь переставьте эти два провода (на ваш взгляд) так, чтобы они были последовательно друг с другом. Сопротивление изменяется в четыре раза больше сопротивления:

Это означает, что индуктивность увеличилась в четыре раза для удвоения витков, и тривиально расширить этот пример до n витков.

Какую ошибку я совершил в своем выводе? Пожалуйста, объясните подробно.

Индуктивность

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$