Фурье против Лапласа

Предположим, у меня есть сеть RLC в черном ящике, и я тяжело грохнул ее в лаборатории, чтобы получить импульсный отклик. Теперь у меня есть два варианта: я могу взять преобразование Фурье или преобразование Лапласа, чтобы получить частотную характеристику. Как я знаю, какой из них выбрать и какова физическая разница между каждым?

Мне сказали, что преобразование Лапласа также дает переходный отклик или затухание, тогда как преобразование Фурье - нет. Это правда? Если я внезапно подаю синусоидальный сигнал на вход, то должен быть кратковременный отклик в течение короткого периода времени, когда выходной сигнал не является синусоидой, пока система не установится. Может кто-нибудь дать мне практический пример с точки зрения сети RLC, чтобы показать, как это правда?

Кроме того, часто в классе цепей мы берем преобразование Лапласа схемы, где действительная часть $s = \sigma + j\omega$ в любом случае предполагается равным нулю, поэтому, когда мы используем $\frac{1}{Cs}$ чтобы обозначить преобразование Лапласа конденсатора, предполагается, что это эквивалентно $\frac{1}{j\omega C}$, Я полагаю, что действительная часть равна нулю, поскольку ток через конденсатор сдвинут по фазе на 90 градусов по отношению к напряжению в поперечнике - это правильно? Я думал, что преобразование Фурье было таким же, как преобразование Лапласа с$\sigma = 0$, Однако это не похоже на правду - рассмотрим$x(t) = u(t)$:

Мы можем видеть это, даже если я заменю $s = j \omega$без реальной части на выходе преобразования Лапласа, они все еще не равны. Почему у преобразования Фурье есть дополнительная импульсная составляющая, а у Лапласа нет? Когда я могу заменить$s = j\omega$ и ожидать, что преобразование Фурье будет равно преобразованию Лапласа?

Изменить: последняя часть моего вопроса имеет ответы здесь и здесь .

Преобразование Фурье и Лапласа не одно и то же. Прежде всего, обратите внимание, что когда мы говорим о преобразовании Лапласа, мы очень часто имеем в виду одностороннее преобразование Лапласа, где интегралы преобразования начинаются с$t=0$ (а не в $t=-\infty$), т.е. с помощью преобразования Лапласа мы обычно анализируем причинные сигналы и системы. С преобразованием Фурье это не всегда так.

Чтобы понять различия между ними, важно взглянуть на область сходимости (ROC) преобразования Лапласа. Для причинных сигналов РПЦ всегда является правой полуплоскостью, т.е. нет полюсов (рациональной функции в$s$) справа от некоторого значения $\sigma_0$ (где $\sigma$ обозначает действительную часть комплексной переменной $s$). Сейчас если$\sigma_0<0$т.е. если $j\omega$ ось находится внутри ROC, тогда вы просто получите преобразование Фурье, установив $s=j\omega$, Если$\sigma_0>0$тогда преобразование Фурье не существует (поскольку соответствующая система неустойчива). Третий случай ($\sigma_0=0$) интересно, потому что здесь преобразование Фурье существует, но его нельзя получить из преобразования Лапласа, задав $s=j\omega$, Ваш пример относится к этому типу. Преобразование Лапласа ступенчатой ​​функции имеет полюс в$s=0$, который лежит на $j\omega$ось. Во всех таких случаях преобразование Фурье имеет дополнительные$\delta$ импульсы в полюсах на $j\omega$ ось.

Обратите внимание, что неверно, что преобразование Фурье не может иметь дело с переходными процессами. Это просто недоразумение, которое, вероятно, связано с тем, что мы часто используем преобразование Фурье для анализа стационарного поведения систем, применяя синусоидальные входные сигналы, которые определены для$-\infty<t<\infty$, Пожалуйста, также посмотрите этот ответ на аналогичный вопрос.

Итак, вы бьете по черному ящику, сделанному из компонентов RLC, и измеряете реакцию - импульсную реакцию. Теперь вы хотите узнать частотный отклик, то есть отклик любого синусоида.

Прежде всего, вы не можете по-настоящему возбудить свою систему чисто синусоидальной. Слишком поздно, ты должен был начать с большого взрыва. Лучшее, что вы можете сделать, это использовать причинную синусоиду, которая имеет дополнительные частотные компоненты.

Но давайте скажем, что вам нужно знать реакцию системы на произвольный ввод во временной области. Тебе не нужны Фурье или Лаплас, чтобы это знать. Свертка будет делать.

Что у тебя на руках, правда? Вы измерили импульсный отклик. Каким-то образом вы построили график, скажем, непрерывно, в отличие от АЦП, который дискретизировал сигнал - что обычно и происходит, и вместо этого вы будете спрашивать о Z-преобразовании против БПФ. Давайте также предположим, что удар, который вы дали, был хорошей дельтой: сильной, но короткой.

Поскольку ваша система RLC, она линейна, поэтому принципы суперпозиции работают (иначе мы бы не говорили об этом). Любой вход может быть построен путем добавления смещенных ослабленных импульсов во времени (вроде - это предел). Таким образом, общий ответ просто складывает все эти отдельные ответы вместе. Это дополнение является именно тем, что делает вход (t) * impulseResponse (t) свертки. Вы можете рассматривать систему RLC как «аппаратный сверток». Это, вероятно, самый точный способ прогнозирования ответа на произвольный ввод.

Теперь я хочу кое-что прояснить, вот как Лаплас относится к Фурье. Наша область - это причинные функции, так как в противном случае нет смысла сравнивать односторонний Лаплас с Фурье. Кроме того, все реальные сигналы являются причинными. Математически преобразование Лапласа является просто преобразованием Фурье функции, предварительно умноженной на убывающую экспоненту. Это так просто. Таким образом, если преобразование Фурье не существует, потому что интегралы бесконечны, Лаплас все еще может существовать, если экспоненциальная убыль достаточно сильна, потому что интеграл «ослабленной» функции будет сходиться. С математической точки зрения это может быть чрезвычайно полезно в определенных случаях.

Но то, что вы действительно хотите, это создать систему управления для вашего завода. В этом случае вы проверяете ответ, а затем аппроксимируете его с моделью 1-го или 2-го порядка плюс групповая задержка. Так что это не будет точным, но, делая это, вы обрываете все мелкие детали фактического отклика и получаете огромное преимущество от возможности подключить эту модель к уравнениям управления и алгоритмам, а также к знаниям теории управления десятками книг. и проектировать и моделировать вашу систему управления. В этом случае вы будете использовать модель Лапласа, поскольку сразу получите полюсы и нули, которые можно использовать для анализа устойчивости.