Справедливое и эффективное распределение «семейных товаров»

8

Рассмотрим экономику обмена с двумя товарами, например, мебель для дома (x) и электрическое оборудование (y). Интересная вещь об этих товарах состоит в том, что, когда семья владеет пакетом, все члены семьи пользуются одним и тем же пакетом (это похоже на «хороший клуб», но только для семьи).

Есть две семьи. В каждой семье есть разные члены с разными предпочтениями по отношению к группам. Предположим, что все предпочтения являются монотонно возрастающими и строго выпуклыми.

Распределение представляет собой пару пучков, для семьи 1 и для семьи 2. $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

Распределение называется без зависти, если:

Все члены семьи 1 считают, что по крайней мере так же хорошо, как ; $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
Все члены семьи 2 считают, что по крайней мере так же хорошо, как . $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

Распределение называется Парето-эффективным, если нет другого распределения расслоений среди семей, так что все члены всех семей слабо предпочитают и строго предпочитает по крайней мере один член одной семьи.

При каких условиях существует парето-эффективное распределение без зависти?

Если в каждой семье есть один член, то существует парето-эффективное распределение без зависти; это знаменитая теорема Вариана . Была ли эта теорема обобщена от отдельных лиц к семьям?

— Эрель Сегал-Халеви
источник

Очень сильное определение зависти-свободы. Можно предположить, что сначала вы каким-то образом агрегируете предпочтения, а затем утверждаете, что в соответствии с агрегированными предпочтениями нет зависти.

— Жискар

@denesp действительно, я думал об объединении предпочтений, например, используя функцию социального обеспечения. Но любой выбор такой функции будет произвольным и недостаточно мотивированным.

— Эрель Сегал-Халеви

@ ErelSegal-Halevi Вы хотите, чтобы мы также предполагали, что полезность каждого члена каждой семьи слабо увеличивается в количестве и получает их семья? Если это так, у меня есть для вас очень неудовлетворительное условие, при котором существует эффективное по Парето распределение без зависти: предположим, что для каждой семьи каждый член этой семьи имеет одинаковые предпочтения ...: P

x

$x$

y

$y$

— Шейн,

@ Слабая монотонность Шейна кажется разумным предположением. Если в каждой семье все члены имеют одинаковые предпочтения, то каждая семья фактически похожа на одного агента, поэтому мы возвращаемся к стандартным установкам ...

— Эрел Сегал-Халеви

Как насчет случая, когда и ? Предполагая слабую монотонность, тогда это должно быть Парето и без зависти. Оттуда мы могли бы внести небольшие изменения в эпсилон?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Cavalry

2

Прямо сейчас я не уверен в эквивалентности перемаркировки и, следовательно, полезности этого ответа - см. Комментарии ниже.

Это начало ответа и попытка продемонстрировать, насколько сильными должны быть необходимые предположения, чтобы гарантировать существование.

Давайте превратим проблему в ту, которая эквивалентна, но с ней немного проще работать. Вместо индексации по семействам, давайте вместо индексации по агентам (членам семей). Ключом к этой перемаркировке является понимание того, что семейства могут быть записаны как ограничения: если агенты и принадлежат одному семейству, то и . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Теперь мы вернулись в стандартную среду с отдельными агентами (не семьями), но с этими семейными ограничениями. Вспомните доказательство теоремы Вариана, которое вы связываете в вопросе. Он использует существование конкурентного равновесия из равных доходов. В этом контексте нам нужно существование конкурентного равновесия из равных доходов, в котором семейные ограничения также были выполнены. Это будет очень сложно сделать. Например, предположим, что и находятся в семье, а где - крошечный. Эти предпочтения являются монотонными и выпуклыми. По сути, один член семьи заботится о а другой заботится о $i$ $j$

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$ . Если каждый из двух агентов покупает и для максимизации своей полезности, вы не ожидаете, что или в конкурентном равновесии (см. Добавление в конце).

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Вот почему вам, безусловно, нужно предположить сходство предпочтений в семьях (по крайней мере, использовать версию доказательства Вариана). Я чувствую, что если вы дадите мне какое-то сколь-нибудь небольшое различие в предпочтениях между членами семьи, я могу построить пример вокруг этого, где не существует CEEI, в котором они выбирают одно и то же распределение. И тогда, по крайней мере, вы не можете использовать доказательство Вариана.

Два вопроса:

Согласны ли вы с тем, что моя переформулировка проблемы формально эквивалентна вашей?
Можете ли вы представить себе какое-либо предположение, более слабое, чем допущение однородности предпочтений в семье, которое я могу попытаться опровергнуть контрпримером?

Приложение: Помните, что в конкурентном равновесии предельная норма замещения (MRS) каждого агента равна соотношению цен. Здесь мои агенты имеют постоянные и разные MRS, поэтому не может существовать конкурентного равновесия с соотношением цен, равным обоим MRS. Если у каждого агента есть MRS, который варьируется, то, возможно, они могут оказаться равными при соотношении цен равновесия. Так что, возможно, вы могли бы уйти с некоторого представления о локальной однородности семейных предпочтений. Но вам нужно, чтобы они были локально однородными в условиях конкурентного равновесия, а это именно то, что вы пытаетесь доказать, что оно существует, поэтому оно будет немного круглым.

Важное примечание: как упоминалось ранее, я предполагаю, что единственный способ доказать существование - это то, как это сделал Вариан через CEEI. Могут быть и другие методы доказательства, которые обходят эти проблемы, но я подозреваю, что нет.

За пределами CEEI: как указывает OP в комментариях, доказательство существования PEEFs через CEEI, как это делает Вариан, является несколько ограничительным. Мне нечего сказать о непосредственном доказательстве существования PEEF, но следующее очевидно: для любого распределения, удовлетворяющего условию эффективности по Парето (на данный момент игнорируем зависть), для любого такого, что , $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Если бы это было не так, было бы улучшение по Парето. Конкурентное равновесие, по сути, приравнивает MRS через соотношение цен, но вам все равно нужно приравнять эти MRS просто для того, чтобы найти эффективное распределение по Парето. Я думаю, что семейные ограничения сделают это очень трудным - нетрудно придумать такую среду и семейные ограничения, чтобы не существовало эффективного по Парето равновесия, удовлетворяющего этим ограничениям. В любом случае, это может быть еще одним частичным шагом к ответу: забудьте о свободе от зависти. Сначала попытайтесь сформулировать предположение о предпочтениях (и, возможно, о семейных ограничениях), которое гарантирует существование эффективного распределения по Парето, которое удовлетворяет семейным ограничениям. Тогда беспокойтесь о зависти.

— Шейн
источник

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

Я нашел в оригинальной статье Вариана: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 доказательства существования распределений PEEF, которые не зависят от CEEI и поэтому действительны даже в ситуациях, когда CEEI не существует (предпочтения не строго выпуклый). До сих пор мне не удалось понять эти доказательства, но они могут иметь отношение.

— Эрель Сегал-Халеви

@ ErelSegal-Halevi В вашем примере любое распределение, при котором оба агента получают строго положительные количества обоих товаров, неэффективно по Парето, не так ли? Я изо всех сил пытаюсь понять ваши диапазоны. В целом, однако, я согласен с вами. Я добавил дополнительный раздел о проверке PEEF напрямую (без CEEI). Я не думаю, что вы найдете это особенно удовлетворительным, но это все, что для меня сейчас очевидно.

— Шейн

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Эрел Сегал-Халеви

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , а не 2. Теперь я ставлю под сомнение эквивалентность перемаркировки. Семьи - это не просто ограничение (в том, что люди должны делить одни и те же товары), они также являются преимуществом, поскольку товары являются общими / общими в семье.

— Шейн

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Предположим, что общий вектор запаса и равен . $X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

Для любого определите . $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

Проверьте, что если , то и - эффективное выделение по без зависти, а с другой стороны, если , тогда и свободны от зависти распределение. $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
источник

В чем смысл требования .?

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

— Эрель Сегал-Халеви

Все члены семьи U имеют более высокий балл MRS, чем все члены семьи V.

— Амит

Я думаю, что для 2 семей и линейных предпочтений это требование может быть снято. Я должен работать над деталями еще.

— Эрель Сегал-Халеви

Я думаю, что будет трудно удалить это требование, потому что мы хотим, чтобы распределение было завистью бесплатно. Условия могут не выглядеть опрятными, даже если они как-то расслаблены. Но этот результат справедлив для более широкого класса функций полезности. Будет хорошей идеей расширить результат, включив в него настройки другого типа. Например: версия этого также может быть доказана для предпочтений Кобба Дугласа.

— Amit

1

Предположим, что предпочтения всех агентов во всех семействах являются монотонными и выпуклыми (стандартные предположения теории потребителей).

Кроме того, эффективное распределение без зависти по Парето всегда существует при наличии двух семейств. Тем не менее, он может не существовать, когда есть три или более семей.

Доказательства и примеры можно найти в этом рабочем документе .

— Эрель Сегал-Халеви
источник

-2

Постановка проблемы, по-видимому, подразумевает, что X и Y не могут быть заменой (электрическое устройство не может использоваться в качестве домашней мебели).

Эффективное по Парето распределение без зависти существует, когда:

По крайней мере, для одного агента, по крайней мере, некоторые товары имеют отрицательную полезность или являются дополнениями, и агенты могут предпочесть не потреблять.

Пример:

Агенты A и B находятся в семье F1.
Функция полезности агента А:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

Функция полезности агента B:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Агенты C и D находятся в семье 2.
Агент С имеет функцию полезности:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

Агент D имеет функцию полезности:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Решение:

F1 предпочитает (X1, Y1), и агент А решит не потреблять ничего.

F2 предпочитает (X2, Y2), а агент C выбирается так, чтобы не потреблять ничего.

Это действительно семантические аргументы, и не существует значимого равновесия без принятия общих предпочтений.

— DJ Sims
источник

Не могли бы вы сделать свои заявления более точными? Например, что такое «отрицательные дополнения»? И, пожалуйста, предложите хотя бы эвристический аргумент в поддержку утверждений, если не полное доказательство, чтобы мы могли понять вашу аргументацию.

— Шейн

Судя по вашим служебным функциям, таким как агенты А и В заботятся о потреблении другой семьи? И я не придерживаюсь идеи «не потреблять». Предполагаете ли вы, что член семьи 1 может потреблять в любом месте ?

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

— Шейн

Отредактировал ответ. Вы правы во втором пункте. Если агенты обязаны потреблять, то аргумент не применяется.

— DJ Sims