Производственная функция CES с

Используя производственные функции CES вида , мы всегда предполагаем, что . Почему мы делаем это предположение? Я понимаю, что если , производственная функция больше не будет вогнутой (и, следовательно, производственный набор не будет выпуклым), но что это означает для функций прибыли и затрат? $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ $\rho\leq1$ $\rho>1$

— Шер афганский
источник

ρ

$\rho$ выше одного приведет к угловому решению, где будет выбран только один вход с положительным количеством. Так как суть мульти-хороших производственных функций обычно заключается в моделировании обстоятельств, когда фактически используются два входа, это нежелательная особенность.

— BKay

Будет ли решение проблемы максимальной прибыли?

— Шер Афган

@SherAfghan, линейная функция с видимому, не принадлежит семейству CES, поскольку ее эластичность замещения не постоянна.

ρ = 1

$\rho = 1$

— Гарей

Ответы:

Проблема с заключается в том, что это означает, что предельное произведение факторов не уменьшается ( ) или не константа ( ), а увеличивается, что является странным предположением. Такие функции дают изокванты, которые являются вогнутыми и могут привести к использованию только одного фактора (как сказал BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Как и в любых общих CES, предельный продукт фактора является $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

Производная этого MP по после некоторой перестановки $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Для это выражение является положительным, что означает, что производительность фактора увеличивается с увеличением его использования. $\rho>1$

Что касается изоквант, вы можете найти их, переписав производственную функцию как . В общем CES это $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

Они являются линейными в случае , выпуклыми в случае Кобба-Дугласа (где вышеупомянутая функция - , гипербола) и вогнутыми в случае . Например, выберите и вы получите: $\rho=1$ $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

которая является формулой круга с центром в , с радиусом . Обычно для теории производства интересен только , который дает вам вогнутые изокванты для разных уровней . На рисунке ниже показан пример, где для данного коэффициента цены есть угловое решение (точка А): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Код для воспроизведения рисунка здесь )

— luchonacho
источник

Вот моя попытка ответить на этот вопрос, он неполный и / или неправильный, поэтому, пожалуйста, помогите внести предложения, и я отредактирую это.

Минимизация затрат

Поскольку не является квазивогнутым, соответствующие изоквантовые кривые не будут выпуклыми по отношению к началу координат (т.е. их верхний набор контуров не будет выпуклым). В этом случае фирма должна использовать угловое решение и требования условного фактора будут представлены как; Эти требования условного фактора дают функцию стоимости; Максимизация прибыли $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

Я действительно смущен здесь. Хотя производственная функция является выпуклой, но она по-прежнему демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. . То есть решение все еще будет существовать (верно?). Так как же не вогнутость производственной функции влияет на решение, максимизирующее прибыль? $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Шер афганский
источник

Ваше заблуждение легко прояснить: помните, что выпуклые предпочтения не подразумевают вогнутую функцию полезности. Они только подразумевают, что верхние наборы контуров являются выпуклыми. Аналогично, для рассматриваемой производственной функции рассмотрим . контролирует, является ли функция вогнутой или выпуклой, контролирует, является ли набор контуров выпуклым.

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

— HRSE

Я не понимаю, вогнутая функция подразумевает, что верхний набор контуров выпуклый. означает, что функция является вогнутой, а это означает, что она является квазивогнутой, то есть наборы верхнего контура для набора уровней являются выпуклыми. Насколько я понимаю, в вашем примере производит монотонное преобразование исходной функции, которая может быть или не быть вогнутой. В любом случае, как это влияет на решения, максимизирующие прибыль?

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

— Шер Афган

Предположим, . Определенный выше агрегат приближает функцию max к степени . Таким образом, верхние контурные множества не выпуклые. Теперь для каждого вы можете найти достаточно маленькую такую, что функция имеет увеличивающийся или уменьшающийся возврат к масштабу. Таким образом, возврат к масштабу не связан с выпуклостью наборов верхних контуров.

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

— HRSE

Понимаю. Таким образом, даже если , мы можем получить решение, максимизирующее прибыль, в зависимости от значения . Прав ли я, говоря, что у нас будет решение (производственная функция будет показывать убывающую отдачу от масштаба), если , с другой стороны, если , производственная функция будет показывать возрастающую отдачу от масштаба, и будет не быть решением проблемы прибыли Макс?

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

— Шер Афган

Существует ли решение проблемы максимизации прибыли дополнительно зависит от структуры рынка. Проблема максимизации прибыли монополиста обычно все еще хорошо определена, в то время как для компаний, принимающих цены, это не так.

— HRSE

Короче говоря, для не будет никакого решения для максимизации прибыли в краткосрочной перспективе (как минимум один фактор фиксирован) для конкурентного случая (цена фиксирована ). $\rho \geq 1$

Чтобы перейти от производственной функции к функции стоимости, нам нужно ввести факторные цены ( и для примеров из учебников) и решить задачу оптимизации. Обширную экспозицию можно найти здесь . $r$ $w$

Чтобы построить интуицию, давайте возьмем и исправим один фактор. Чтобы иметь дело с прибылью , мы должны ввести цены на производимые товары, а также . Таким образом, проблема может выглядеть следующим образом ( ): $w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

Можно показать, что для функции прибыли такого рода SOC имеет вид: , что означает, что глобального максимума нет (хотя минимум существует). $\pi'' >0$

Чтобы увидеть тот же эффект в более простом примере ( не производном от CES), рассмотрим следующее:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC есть . $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

Обратите внимание на но не, скажем, на как обычно. Давайте сравним эти два случая для на графике, чтобы оценить разницу. $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
источник