Какова цель локального ненасыщенного предположения в первой теореме благосостояния?

Предположение о максимизации прибыли подразумевает

if x_{i} ≻ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} > p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$

Итак, это просто говорит, что если агент максимизирует / рационально использует утилиту, то, если он не выбирает пакет, строго предпочтительный для его пакета, то он не должен быть доступным.

Почему местное предположение о ненасыщенности нужно тогда сказать

if x_{i} ⪰ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} \geq p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

Почему это не просто автоматически из предположения максимизации прибыли? Если мы знаем, что , разве не очевидно, что и т. Д. $x_i \succ x_i^* \implies p_ix_i > p_i w_i$ $x_i = x_i^* \implies p_ix_i = p_i w_i$

if x_{i} ⪰ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} \geq p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

preferences welfare-economics

— Стэн Шунпайк
источник

Ответы:

Предположения разные. Во-первых, утверждается, что если пакет лучше оптимального, потребитель не может его себе позволить. Второй заявляет, что если пакет такой же хороший (не обязательно лучший), чем оптимальный, он должен стоить как минимум столько же, а не меньше.

Рассмотрим пространство только с одним типом товара и функцией полезности . Пусть вклад потребителя будет . Хотя по-прежнему имеет значение true, нет, поскольку является оптимальным и выполнимым, таким образом Более сложные примеры (несколько товаров, глобальное ненасыщение выполнено) также могут быть построены. $x$ $U(x) = 0$ $w = 1$

if x_{i} ≻ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} > p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$

if x_{i} ⪰ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} \geq p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

x^{*} = 0

$x^* = 0$

x^{*} ⪰ x^{*} AND p x^{*} < p w .

$x^* \succeq x^* \text{ AND } p x^* < p w.$

— Giskard
источник

Математика не помогает мне понять это. Как местное насыщение не позволит рынку достичь оптимального по Парето состояния?

— BT

@BT У тебя есть свой вопрос по этому поводу?

— Жискар

Ну, я разместил вопрос об условиях, при которых равновесие гарантированно будет оптимальным по Парето. Ответ включает в себя локальное насыщение как условие, но в вопросе не было явного вопроса, почему это было условие, и это действительно так.

— BT

Я думаю, что проблема в том, что этот пример не объясняет, что такое локальная ненасыщенность или зачем она нужна. Скорее, он предоставляет пример того, почему максимизация полезности не подразумевает, что второе утверждение обязательно верно. Я бы предпочел что-то, объясняющее, что именно обеспечивает местная ненасыщенность и которая разрешает ситуацию ... именно об этом и говорится в названии. Но это, тем не менее, очень умный пример

— Стэн Шунпайк,

@StanShunpike К сожалению, если я вас правильно понимаю, заголовок и содержание вопроса очень разные. Также прискорбно, что вы не прокомментировали, когда я ответил на вопрос 5 месяцев назад ...

— Giskard

Хорошо, я думаю, что теперь я могу понять, почему локальная ненасыщенность важна для стремления к оптимальному распределению рынка по Парето. Рассмотрим следующую картину, где все кружки представляют возможные распределения, а их положение на графике представляет полезность, получаемую каждым человеком на простом рынке из двух человек:

В этом случае X, Y, Z и D дают человеку 1 одинаковую полезность. В такой ситуации X, Y и Z - все возможные равновесия, учитывая полные рынки и поведение цены, даже если они не являются оптимальными по Парето.

В ситуации с локальной ненасыщенностью такая ситуация не может существовать, и, таким образом, обеспечивается оптимальное по Парето равновесие.

Слабая оптимальность по Парето не требует локального ненасыщения.

— BT
источник