Двойственность минимизации затрат и максимизации прибыли

$\Pi$

\begin{aligned} max_{K, L} {Π (K, L) = F (K, L) - R K - w L} \end{aligned}

$\begin{align} \max_{K,L}\{\Pi(K,L) = F(K,L) - RK - wL\} \end{align}$

F

$F$

R

$R$

K

$K$

w

$w$

L

$L$

\begin{aligned} Π_{K} & = 0 \Leftrightarrow R = F_{k} \\ Π_{L} & = 0 \Leftrightarrow w = F_{L} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pi_K &= 0 \Leftrightarrow R = F_k\\ \Pi_L &= 0 \Leftrightarrow w = F_L. \end{align}$

При этом (2.6) и (2.7) и соответственно. Фирма пытается минимизировать затраты где - некоторый выходной уровень. Настройте лагранжиан $w=F_L$ $R=F_K$

\begin{aligned} min_{K, L} {R K + w L} \\ s.t. & F (k, L) = Y \end{aligned}

$\begin{align} &\min_{K,L}\{RK + wL\}\\ \text{s.t.}~~& F(k,L) = Y \end{align}$

Y

$Y$

\begin{aligned} L = R K + w L + λ (F (K, L) - Y) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L} = RK + wL + \lambda(F(K,L) - Y) \end{align}$

ФОК определяются как

\begin{aligned} L_{K} = 0 & \Leftrightarrow R + λ F_{K} = 0 \\ L_{L} = 0 & \Leftrightarrow w + λ F_{L} = 0 \\ L_{λ} = 0 & \Leftrightarrow F (K, L) - Y = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}_K = 0& \Leftrightarrow R + \lambda F_K = 0\\ \mathcal{L}_L = 0& \Leftrightarrow w + \lambda F_L = 0\\ \mathcal{L}_\lambda = 0& \Leftrightarrow F(K,L) - Y = 0 \end{align}$

Я не понимаю, как мы можем предположить и из этих условий? $R = F_K$ $w = F_L$

optimization profit-maximization firm

— невежественный
источник

Если является однородной функцией степени один, то Это следует из определения однородности. , (Определение однородной функции можно найти здесь .) Это означает, что если существует максимальная прибыль, она равна нулю. В противном случае вы могли бы увеличить все входные данные, скажем, на 100%, тем самым увеличивая как доходы, так и затраты и, следовательно, прибыль на 100%. Итак, . $F(K,L)$

Π (K, L) = F (K, L) - R \cdot K - w \cdot L .

$\Pi(K,L) = F(K,L) - R \cdot K - w \cdot L.$

Π (K^{*}, L^{*}) = 0

$\Pi(K^*,L^*) = 0$

По теореме Эйлера об однородной функции имеем : $\forall K,L$

\begin{aligned} Π (K, L) & = Π_{K} (K, L) \cdot K + Π_{L} (K, L) \cdot L \\ Π (K, L) & = (F_{K} (K, L) - R) \cdot K + (F_{L} (K, L) - w) \cdot L . \end{aligned}

$\begin{align} \Pi(K,L) &= \Pi_K(K,L) \cdot K + \Pi_L(K,L) \cdot L \\ \Pi(K,L) &= (F_K(K,L) - R) \cdot K + (F_L(K,L) - w) \cdot L. \end{align}$

Поскольку , мы имеем Мы знаем, что , поэтому, если мы можем показать, что знаки и совпадения мы докажем, что они равны нулю. В противном случае одна сторона уравнения будет отрицательной, а другая положительной. Из минимизации затрат вы получаете Если то если то $\Pi(K^*,L^*) = 0$

- (F_{K} (K^{*}, L^{*}) - R) \cdot K^{*} = (F_{L} (K^{*}, L^{*}) - w) \cdot L^{*}

$-(F_K(K^*,L^*) - R) \cdot K^* = (F_L(K^*,L^*) - w) \cdot L^*$

K^{*}, L^{*} \geq 0

$K^*,L^* \geq 0$

(F_{K} (K^{*}, L^{*}) - R)

$(F_K(K^*,L^*) - R)$

(F_{L} (K^{*}, L^{*}) - w)

$(F_L(K^*,L^*) - w)$

\begin{aligned} R + λ F_{K} & = 0 \\ w + λ F_{L} & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} R + \lambda F_K & = 0\\ w + \lambda F_L & = 0. \end{align}$

λ > 1

$\lambda >1$

\begin{aligned} F_{K} (K^{*}, L^{*}) - R & < 0 \\ F_{L} (K^{*}, L^{*}) - w & < 0, \end{aligned}

$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & < 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & < 0, \end{align}$

λ = 1

$\lambda =1$

\begin{aligned} F_{K} (K^{*}, L^{*}) - R & = 0 \\ F_{L} (K^{*}, L^{*}) - w & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & = 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & = 0. \end{align}$ и если то

λ < 1

$\lambda <1$

\begin{aligned} F_{K} (K^{*}, L^{*}) - R & > 0 \\ F_{L} (K^{*}, L^{*}) - w & > 0, \end{aligned}

$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & > 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & > 0, \end{align}$

поэтому знаки действительно совпадают, поэтому

\begin{aligned} F_{K} (K^{*}, L^{*}) - R & = 0 \\ F_{L} (K^{*}, L^{*}) - w & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} F_K(K^*,L^*) - R & = 0\\ F_L(K^*,L^*) - w & = 0. \end{align}$

— Giskard
источник

К сожалению, добавил линейный homogeneinty из . На самом деле я хотел бы показать обратный случай. Можно ли получить условия максимизации прибыли и от минимизации затрат, как утверждает Ацемоглу? Здесь вы показываете, что условия минимизации затрат могут быть получены из максимизации прибыли.

F

$F$

R = F_{K}

$R = F_K$

w = F_{L}

$w = F_L$

— невежественный

@clueless Да, и я думаю, что мой ответ покрывает это, но я буду редактировать, чтобы уточнить.

— Жискар