Насколько бесконечные равновесия Нэша возможны в игре?

Я изучал игры, когда один из игроков, кажется, безразличен к двум или более чистым стратегиям, потому что он получает одинаковое вознаграждение с каждой стратегией. Мы говорим, что в игре бесконечное равновесие Нэша, но я не могу рассчитать его и получить интуитивное представление о том, как это происходит. Например, в следующей игре $$ \ begin {array} {c | a | c} & amp; L_2 & amp; R_2 & амп; \\ \ hline L_1 & amp; (3,1) & amp; (0,1) \\ \ hline R_1 & amp; (0,1) & amp; (4,1) \\ \ hline \ end {array} $$

По-видимому, P2 не должен беспокоиться ни о чем, даже если он играет в чистую стратегию или рандомизирует. Но здесь, если мы предположим, что P2 играет L с вероятностью q, а P1 играет L с вероятностью p, то делая их равнодушными, мы видим, что мы не можем вычислить p, но q получается равным 4/7. Как это возможно или какова интерпретация? Если я делаю это неправильно, то как правильно определить равновесие в этом случае?

Другой пример

$$ \ begin {array} {c | a | c} & amp; L_2 & amp; R_2 & амп; \\ \ hline L_1 & amp; (1,1) & amp; (0,0) \\ \ hline R_1 & amp; (0,0) & amp; (0,0) \\ \ hline \ end {array} $$

Сколько равновесий Нэша возможно в этом?

game-theory nash-equilibrium

— Sub-Optimal
источник

Ответы:

Что ж, интуиция довольно проста: как вы уже упоминали, игроку 2 безразлично играть любые действия в чистых стратегиях, или же рандомизировать любым возможным способом. Таким образом, для существования равновесия смешанной стратегии игроку 2 необходимо сыграть L w / вероятность 4/7. Если это так, то это не имеет значения что игрок 1 игрок --- результат игрока 2 такой же. В результате в чистых стратегиях Равновесиями являются L, L и R, R, а в Смешанных стратегиях q = 4/7, и p может принимать любое значение от 0 до 1. Следовательно, существуют бесконечные возможные равновесия Нэша (p просто должен подчиняться основным законам вероятности).

— ChinG
источник

Я не следил за вами, когда вы говорите, что P1 хочет, чтобы P2 сыграл L с prob. 4/7. P1 не выиграет больше, если P2 сыграет R больше, так что P1 может получить выигрыш 4.

— Sub-Optimal

Игрок P2, который совершенно безразличен между L и R, в конечном итоге рандомизируется, в то время как игрок P1 может выбрать фактически любую смесь. Разве это не противоречит интуиции?

— Sub-Optimal

Nash Equlibrium в чистых стратегиях - это вырожденная версия смешанных стратегий, когда игроки играют действие с вероятностью 1. Идея Смешанной стратегии состоит в том, что для того, чтобы P1 был безразличен к своим действиям, ей нужен игрок 2, чтобы играть своими действиями с вероятность того, что P1 безразлично играть ее действия с любой вероятностью. Таким образом, они одновременно предоставляют друг другу случайную стратегию, так что другой является безразличным между двумя действиями по ожиданию. Короче говоря, они оба безразличны между этими двумя действиями и, следовательно, любой случайной комбинацией.

— ChinG

Противо-интуитивная часть проистекает из того факта, что существуют смешанные стратегии. Когда мы говорим «P1 хочет, чтобы P2 играл так-то и так-то ...», мы не имеем в виду, что это лучшая вещь для P1. Каждый игрок «хочет / должен» в смешанных стратегиях делает другого равнодушным. Вот почему P1 хочет, чтобы P2 сыграл L с prob. 4/7, чтобы сделать его равнодушным. Это просто способ определения этих равновесий. Комментарий не дает места для дальнейшего изучения. Также имейте в виду, что между 0 и 1 существует бесконечное количество чисел, и здесь стратегии представляют собой произвольные вероятности - числа - между 0 и 1.

— BB King

Вторая игра имеет два равновесия, $ (L_1, L_2) $ и $ (R_1, R_2) $. Нетрудно заметить, что эти два являются равновесиями по Нэшу. С другой стороны, если один игрок играет $ R_i $ с вероятностью, строго превышающей 0, то в интересах другого - сыграть $ L_j $ с вероятностью 1. Последнее наблюдение показывает, что никакого другого равновесия не существует.

Наконец, нет ничего плохого в бесконечном количестве точек равновесия. Ваш самый простой пример $$ \ BEGIN {массив} {| с | с | с |} \ HLine & Амп; L_2 & amp; R_2 \\ \ hline L_1 & amp; 0,0 & amp; 0,0 \\ \ хлайн R_1 & amp; 0,0 & amp; 0,0 \\ \ hline \ end {array} $$ для которого каждый профиль стратегии является равновесием Нэша.

— ramazan
источник