Монотонные и непрерывные предпочтения являются обязательно рациональными?

X = R $\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

Подразумевается ли в этих условиях рациональность ?$\succsim$

Я думаю, что транзитивность подразумевает непрерывность. Однако полнота вызывает беспокойство, так как существуют элементы которые нельзя упорядочить относительно или , и поэтому мы не можем использовать монотонность, чтобы показать, что завершен.≤ ≥ $x,y \in X$$\leq$$\geq$$\succsim$

Я думал о создании последовательности с такой, что и или . Тогда по транзитивности и непрерывности мы могли бы показать, что и можно упорядочить относительно , но я не думаю, что можно построить такую ​​последовательность. x 1 = x x n → y x n ≿ x n + 1 x n + 1 ≿ x n x y $x_{n}$$x_{1}=x$$x_{n} \to y$$x_{n}\succsim x_{n+1}$$x_{n+1} \succsim x_{n}$$x$$y$$\succsim$

Буду признателен за любую помощь, но, пожалуйста, дайте подсказки, а не полные решения.

Рассмотрим отношение предпочтений в такое, что x = ( x 1 , x 2 ) ≿ ( y 1 , y 2 ) = $\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ и x 2 ≥ y 2 .$x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Вы можете поспорить, является ли это отношение предпочтения строго монотонным и непрерывным.

2) Завершено ли указанное выше отношение?

Затем, в качестве гарнира, вы также можете пересмотреть свое утверждение о том, что преемственность является причиной транзитивности.

Примечание: я только что написал этот конкретный с целью проведения мысленного эксперимента. Больше способ оспорить ваше понимание. Я не уверен, дает ли этот пример ответ на ваш вопрос или нет.

Вопрос в том, подразумевается ли рациональность в преемственности и монотонности. Чтобы показать, что это не так, достаточно контрпример. Поэтому мы ищем непереходное, неполное, монотонное, непрерывное отношение предпочтений.

Предположим, что . Таким образом, мы формируем предпочтения над точками линии от ( 0 , 1 ) до ( 1 , 0 ) . Рассмотрим отношение предпочтения, определяемое как ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$ который является неполным в противном случае.$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

рациональность

Рациональность состоит из полноты и транзитивности отношения предпочтения, определяемого следующим образом:

завершенность

Отношение предпочтения является полным, если для всех мы имеем x ≿ y , y ≿ x или оба.$x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

, поэтому отношение предпочтения не является полным.$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$

транзитивность

Отношение предпочтения является транзитивным, если и y ≿ z означают x ≿ z .$x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

и ( .5 , .5 ) ≿ ( 0 , 1 ) выполняются, но ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 ) , поэтому отношение предпочтения не является транзитивным.$(1,0)\succsim (.5,.5)$$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

непрерывность

Отношение предпочтения является непрерывным, если для всех последовательностей сходящихся к ( x , y ) с ∀ i : x i ≿ y i, мы имеем x ≿ y .${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

Отношение предпочтения не нарушает преемственность. Рассмотрим последовательность которая сходится к x , y . Эти последовательности могут быть только такими, что x i = x и y i = y , а x ≠ y , поскольку все остальные x i , y i либо не сходятся к x , y , либо не удовлетворяют x i ≿ y i . Но ясно, если x i ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$ тогда х ≿ у .$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Монотонность

Отношение предпочтения является монотонным, если подразумевает x ≿ y .$x \geq y$$x \succsim y$

Отношение считает все элементы X несравнимыми, поэтому отношение предпочтения является монотонным.$\geq$$X$

Таким образом, мы имеем непереходное, неполное, монотонное, непрерывное отношение предпочтений.

Транзитивность предпочтений обращается к некоторому «интуитивному» понятию «согласованности человеческого разума», и можно утверждать, что любые исключения являются «исключениями из правила », и поэтому у нас действительно есть адекватное абстрактное правило.

По сравнению с этим, полнота - это скорее «прыжок веры». Оно висит в воздухе, проистекает из ничего, ни с чем не связано ( поэтому ответ на ваш вопрос - нет ). Возможно , это может быть поддержано некоторыми вульгарным замечанием , что «если вы нажмете на человека достаточно, то он будет в конечном итоге заказать любую пару вы будете ставить перед собой, даже если только , чтобы избавиться от вас», но это , конечно, при поиске хорошо на практике, никогда не будет работать в теории.

Итак, мы просто определяем полноту для существования ... почему? Чтобы избежать довольно неуправляемых проблем в будущем. Насколько полезно будет работать с неполными предпочтениями? Насколько полезно было бы сказать: «У меня есть эта модель, может и не получится, в зависимости от того, являются ли предпочтения полными или нет» ... какая от этого польза? Затем мы были бы вынуждены придумать альтернативное правило принятия решения: «Предполагая, что предпочтения не полны, тогда, если человек встречает пару, которую он не может заказать ...» - он что делает ? Подбрось монетку? Но это сделало бы "неполноту" эквивалентной безразличию ...

Что еще? Эта линия мышления может быть очень стимулирующей, но она также очень сложная и, безусловно, новаторская, если такой путь действительно существует или может быть создан. (По моему мнению, различные теоретические исследования «нечеткого» разнообразия пытаются найти «срединный путь» именно для этой проблемы - там, где они рассматривают ситуацию, в которой у человека нет ни полных предпочтений, ни он полностью «заморожен», когда «труден». пара подходит)