Помогите понять выражение для непрерывного дисконтирования

В сноске 3 своей статьи « Патентная ширина, патентная жизнь и темп технического прогресса » О'Донохью Скотчмер и Тиссе принимают ставку дисконтирования и пишут$r$

Если поток прибыли длится в течение длины , дисконтированная прибыль равна .$\Delta$$t$$\Delta(1 − e^{−rt})/r$

Может кто-нибудь объяснить, откуда взято выражение ?$\Delta(1 − e^{−rt})/r$

Хотя я знаком с непрерывным дисконтированием по времени, я никогда не видел, чтобы оно формулировалось таким образом раньше. Я обычно ожидаю, что выражение для дисконтированной прибыли будет .$\Delta e^{-rt}$

От времени до времени поток прибыли постоянен . Дисконтированное значение потока прибыли любого экземпляра равно . Чтобы получить общую дисконтированную прибыль, нам понадобится интеграл от до : А так как , это $0$$t$$\Delta$$s$$\Delta \cdot e^{-r s}$$0$$t$

$$\int_0^t \Delta \cdot e^{-r s} \ ds = \left. \frac{\Delta \cdot e^{-r s}}{-r} \right]_0^t = \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{-r} - \frac{\Delta \cdot e^{-r \cdot 0}}{-r}$$ $e^{-r \cdot 0} = e^0 = 1$ $$- \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{r} + \frac{\Delta \cdot 1}{r} = \Delta \cdot \frac{1 -e^{-r t}}{r}.$$