Угадай и проверь

В динамическом программировании метод неопределенных коэффициентов иногда называют «угадай и проверь». Я периодически слышал, что есть какие-то канонические предположения.

В частности, я видел

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Первый относится к утилите журналов, а второй связан с настройками CRRA. Какие еще канонические предположения существуют и связаны ли они с конкретной формой функции возврата?

Редактировать : Для тех, кто не знаком с динамическими программами, мы пытаемся найти закрытые формы для коэффициентов ( например, и ). Для упрощения, функциональное уравнение обычно принимает общий вид где g (\ cdot, \ cdot) описывает эволюцию переменной состояния k . По сути, значение нахождения в состоянии k сегодня зависит от сегодняшней возвращаемой функции F (k, u) и некоторого дисконтированного значения того, что k будет завтра \ beta V \ bigl (g (k, u) \ bigr) . U$A$$B$$V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$$g(\cdot,\cdot)$$k$$k$$F(k,u)$$k$$\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$$u$ представляет любые другие переменные, не относящиеся к состоянию, которые, по вашему мнению, влияют на возврат.

Иногда можно получить решение в замкнутой форме для $V(k)$ (... примечание: мы не просто решаем для $V(k)$ так как правая часть является максимизированной величиной). Обычно это включает в себя знание кое-чего о возвращаемой функции $F(k,u)$ а затем делает предположение о функциональной форме $V(k)$ . Затем мы можем повторить, чтобы увидеть, дает ли наше предположение решение в замкнутой форме для $V(k)$ . В частности, это будет включать замкнутые формы для коэффициентов в догадке (отсюда и метод неопределенных коэффициентов).

Другой несколько канонической формой является функция стоимости для чувствительных к риску предпочтений, когда потребление следует за случайным блужданием со смещением (существуют также версии, включающие капитал - см. Backus Ferriere Zin 2014).

$$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$$

Начните с предпочтений, заданных как Эпштейн-Зин, с функцией эквивалентности определенности вида :$\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

$$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$$

тогда пусть дает нам$\rho \rightarrow 0$

$$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$$ $$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$$

Сбор журналов дает нам предпочтения, чувствительные к риску, как представлено в Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000 и т.

Определите и тогда мы увидим, что:$U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$$\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

$$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$$

Форма этой функции значения может быть угадана как:

$$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$$

Ссылки:

• Дэвид Бэкус, Аксель Ферриер и Стэнли Зин. Риск и неопределенность в моделях бизнес-циклов. Конференция Карнеги-Рочестер-Нью-Йорк. 2014.
• Ларс Люнквист и Томас Дж. Сарджент. Рекурсивная макроэкономическая теория, 3-е издание. 2013.
• TD Tallarini Jr. Реальные бизнес-циклы, чувствительные к риску. Журнал монетарной экономики. 2000.
• Л.П. Хансен и Т.Дж. Сарджент. Дисконтированный линейный экспоненциальный квадратичный гауссовский контроль. IEEE Trans Автоматическое управление. 1995.

Дополнительный комментарий: два приведенных вами случая более или менее охвачены предположением поскольку это сводится к журналам как . Предположения, безусловно, связаны с конкретной формой функции возврата, так как функция значения связана с функцией возврата за один период (вознаграждение), неоднократно получаемой в течение бесконечной истории (если потребление было постоянным, то оно уменьшилось бы до геометрической суммы).$V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$$\sigma \rightarrow 1$