Динамическая оптимизация: что если условие второго порядка не выполняется?

Рассмотрим следующую задачу динамической оптимизации

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

Focs

Гамильтониан задается как

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ . Необходимые условия для оптимальности задаются максимумом принцип

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

Предположим, что $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ является максимизатором, т.е. $H_{uu} < 0$ .

SOC

Теорема о достаточности стрелки утверждает, что необходимые условия достаточны, если максимизированный гамильтониан

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ является вогнутым в

x

$x$ , т.е. если

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ .

проблема

Предположим, что FOCs удерживаются, но SOC не удерживается.

Что можно сказать об оптимальности решения?

optimization

— невежественный
источник

Выпуклость - это не отсутствие вогнутости.

— Майкл Грейнекер

Я убрал не ту часть, надеюсь, ты не против. Ответ таков: немного, попробуйте что-нибудь другое (например, другое условие достаточности или, если вы думаете, что оно выпуклое, покажите, что оно выпуклое).

— Всемогущий Боб

Нет единого ответа, это будет зависеть от особенностей каждой проблемы. Давайте посмотрим на стандартный пример.

Рассмотрим эталонную проблему межвременной оптимизации для модели Рамсея.

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

Текущее значение гамильтониана

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

Максимизация над в одиночку мы имеем $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

и условие 2-го порядка будет выполнено, если функция полезности вогнута,

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

Более того, из условия первого порядка относительно потребления, если выполняется локальное ненасыщение. Предположим, что у нас есть такие «обычные» предпочтения. $\lambda >0$

Гамильтониан максимального потребления

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

Частичные производные по переменной состояния, являются $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

Итак, здесь условие достаточности Эрроу-Курца сводится к тому, уменьшается ли предельный продукт капитала, постоянен или увеличивается (что будет зависеть от знака второй производной производственной функции). В стандартном случае и мы имеем достаточное условие. $f''(k) < 0$

В наиболее известном случае отклонения, модель Ромера , положившая начало литературе по эндогенному росту, , а предельный продукт капитала является положительной константой. $AK$ $f''(k) =0$

Так что мы можем сказать в этом случае?

Здесь Seierstad, A. & Sydsaeter, K. (1977). Достаточные условия в теории оптимального управления. Международный экономический обзор, 367-391. предоставить различные результаты, которые могут помочь нам.

В частности, они доказывают, что если гамильтониан совместно вогнут в и , это является достаточным условием для максимума. Гессиан гамильтониана $c$ $k$

(мы можем игнорировать условия скидки)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

В стандартном случае с это отрицательно определенная матрица, и поэтому гамильтониан является совместно строго вогнутым в и . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

Когда , проверка того, что матрица отрицательно-полуопределена, проста с использованием определения. Рассмотрим вектор и произведение $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

это слабое неравенство имеет место , поэтому гессиан является вогнутым в и . $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

Таким образом, в модели эндогенного роста решение действительно является максимумом (с учетом ограничений параметров, необходимых для четкой постановки задачи, разумеется). $AK$

— Алекос Пападопулос
источник

Спасибо. Тем не менее, я думаю, что я должен уточнить свои мотивы. Я знаю, что гамильтониан не является ни строго вогнутым в , ни совместно вогнутым в . Здесь задает форму гамильтониана, так как ограничен. Это строгая выпуклая функция для малого и любого и строгая вогнутая функция для большого и любого . Мне было интересно, можем ли мы сделать общее утверждение об оптимальности в таком случае.

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— невежественный

@clueless Это другой (и интересный) вопрос, поэтому лучше задать его в отдельном посте.

— Алекос Пападопулос