Смещение МНК в оценке спроса: смещение всегда недооценивает эластичность спроса?

10

В некоторых работах утверждается, что OLS может производить меньше смещения, чем оценка IV, в зависимости от качества ваших инструментов. Предположим, мы рассматриваем уравнение оценки спроса.

Предположим, что эластичность спроса является отрицательной в МНК. По моей интуиции слабые инструменты должны давать смещенные оценки в сторону МНК, но не менее негативные. Ребята, вы можете привести пример? Я не могу понять, как это может привести к более предвзятой оценке с оценкой IV.

econometrics

— Джон Доу
источник

IV предвзята, но последовательна, поэтому я полагаю, что ваше утверждение верно. но я полагаю, все зависит от ваших целей. прогноз против логического вывода.

— user157623

К каким «некоторым статьям» (желательно хорошо известным или освещенным по типу рецензии) вы обращаетесь в первом предложении? Мне интересно смотреть на них. Спасибо.

— Ким Чен Ын

8

Обычно, . Знаменатель уйдет в ноль. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Это верно, если нет какой-либо корреляции между инструментом и ошибочным термином, а знаменатель - это сила связи между инструментом и эндогенной переменной. Чем меньше знаменатель, тем больше смещение . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

Кроме того, слабый инструмент не будет иметь никакой точности, так что дисперсия будет иметь большое смещение вверх.

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

Как $n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Вот почему, если ваш инструмент слабый, тогда вам лучше запустить регрессию OLS.

— Nox
источник

В уравнении для первой дисперсии оценки IV я считаю, что дисперсия несмещенной бета-оценки отсутствует - верно? Вы назначаете дисперсию только той части, которая связана со смещением оценки IV. Если я ошибаюсь, пожалуйста, объясните мне, что мне не хватает.

— Джон Доу

Строка, следующая за « », не является точно дисперсией (также числитель пропускает квадратную запись, только опечатку). Знаменатель является случайным (потому что являются эндогенными), и дисперсия намного сложнее.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142 20.11.16

6

Слабые инструменты в сочетании с небольшой инструментальной эндогенностью могут привести к большему смещению, чем OLS. Как показывает ответ Nox, предел вероятности оценки IV составляет . Когда хоть и мало, а если мало, то смещение может быть большим. См. Замечание Баунда, Джегера и Бейкера (1995, JASA) после уравнения (7) на стр. 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

«Из уравнения (7) ясно, что слабая корреляция между потенциально эндогенной переменной и приборами усугубит любые проблемы, связанные с корреляцией между инструментом и ошибкой, . Если корреляция между инструмент и эндогенная объясняющая переменная слабы, тогда даже небольшая корреляция между инструментом и ошибкой может привести к большей несогласованности в оценке IV чем в оценке OLS ". $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Без инструментальной эндогенности, я не думаю, что смещение оценщика IV (предельного распределения, возможно, нет предела вероятности) больше, чем несоответствие OLS.

Еще одна вещь, которую следует учитывать, заключается в том, что дисперсия оценки IV, использующей очень слабые инструменты, может быть большой даже при очень большом , и, таким образом, вы можете иметь оценку IV большей бессмысленности, чем OLS, для набора данных случайно. $n$

— chan1142
источник