Леонтьевские предпочтения

Я могу решить большинство задач максимизации полезности, используя свои математические знания ... но не когда дело касается предпочтений Леонтьева. У меня нет книги, на которую можно опереться (я занимаюсь самообучением), поэтому очень хотел бы помочь. Как решить общую проблему максимизации, такую как где - доход и - это цена хорошего ?

max [α x_{1}, β x_{2}, γ x_{3}] subject to λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + λ_{3} x_{3} = M

$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$

M

$M$

λ_{i}

$\lambda_i$

i

$i$

На самом деле, все, что я знаю о дериватах и склонах, полностью исчезает из этой чертовой штуки. Если бы кто-нибудь сказал мне, каковы цены и доход, оптимальный выбор, когда товаров всего несколько, вероятно, можно найти, просто применяя здравый смысл, но как насчет общего случая? Не существует ли общей «формулы», как для функций Кобба Дугласа и CES? Есть ли какой-нибудь метод перехода, который мы используем в этих случаях?

— Джон Гаттнер
источник

Что касается предпочтений Леонтьева, разве нет minоператора или нет такого?

— FooBar

Вам не хватает оператора перед скобкой. Задача максимизации полезности заключается в следующем, Рассмотрим случай двух товаров с полезностью заданный . Что оптимально, что вы знаете об отношениях между и ? Они должны быть равны, то есть Если нет, то предположим без потери общности, что . Какая польза от такого выбора и ? Это должно быть $\min$

max min [α x_{1}, . . ., γ x_{3}] such that λ_{1} x_{1} + . . . + λ_{3} x_{3} = M

$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$

u

$u$

u (x) = min [α x_{1}, β x_{2}]

$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$

α x_{1}

$\alpha x_1$

β x_{2}

$\beta x_2$

α x_{1} = β x_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

α x_{1} > β x_{1}

$\alpha x_1 > \beta x_1$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

β x_{2}

$\beta x_2$ , что означает, что часть ваших денег тратится на (при условии, что цены строго положительные), но не дает вам никакой дополнительной полезности, и поэтому это не может быть оптимальным выбором потребления.

x_{1}

$x_1$

Отсюда следует, что равенство должно выполняться в оптимальном режиме (это также очевидно графически). Наряду с ограничением бюджета, это дает вам два уравнения и два неизвестных, которые могут быть решены для оптимального потребления. Аналогичный подход может быть применен к случаю товаров. $n$

Конечно, выше подразумевается, что мы имеем дело с тривиальной проблемой максимизации полезности, а не целочисленное программирование и тому подобное.

— Jaood
источник

Я думаю , что это дает 3 уравнения и 3 неизвестных: , и . Правильный?

α x_{1} = β x_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

β x_{2} = γ x_{3}

$\beta x_2 = \gamma x_3$

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + p_{3} x_{3} = M

$p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 = M$

— Mathemanic