Строгая выпуклость определяется как
Пусть $ X $ - выпуклое множество в вещественном векторном пространстве, и пусть $ f: X \ rightarrow \ Bbb {R} $ - функция. $ f $ называется строго выпуклый если $ \ forall x_1 \ neq x_2 \ in X, $ и $ \ forall t \ in (0, 1) $: $$ f (tx_1 + (1-t) x_2) & lt; t f (x_1) + (1-t) f (x_2) $$
Если это не имеет места, предельная норма замещения все еще должна быть отрицательной?
Ответы:
Если один из товаров не выгоден, а другой - то наклон кривой безразличия будет положительным и, следовательно, MRS отрицательным. Это потому что $$ MRS (x, y) = - \ frac {MU_x (x, y)} {MU_y (x, y)}, $$ и если $ x $ выгоден, то его предельная полезность, $ MU_x (x, y) $, положительна, тогда как если $ y $ не выгоден, то его предельная полезность будет не положительной. (Ноль, если это нейтральный товар.)
Как сказал @Oliv, это не имеет ничего общего с выпуклостью.
Пример: пусть (y, t) обозначает количество денег, которое у вас есть, и время, необходимое вам, чтобы добраться до работы / школы. Вам, вероятно, нравится иметь как можно больше денег. Поскольку то же самое относится и к свободному времени, вы, вероятно, хотите минимизировать продолжительность поездки на работу. Две служебные функции, которые могут представлять ваши предпочтения: $$ U_1 (y, t) = y ^ 2 - t \ hskip 20pt U_2 (y, t) = \ sqrt {y} - t. $$ Деньги выгодны в обоих случаях, а время в пути - нет. Но один представляет выпуклые предпочтения, а другой вогнутый.
Предельная норма замещения - это наклон кривой безразличия, умноженный на -1. Поскольку кривая безразличия имеет отрицательный наклон (как только человек предпочитает потреблять товары), MRS всегда положительный , Это не имеет ничего общего с выпуклостью предпочтений.
Если кривая безразличия является выпуклой, но не является строго выпуклой, то она является линейной, то есть имеет постоянный наклон. В этом случае предельная норма замещения является постоянной (но все же положительной!).