Как получить эластичность замещения?

Для двух товаров и эластичность замещения определяется как $x$ $y$

σ \equiv \frac{d журнал (\frac{Y}{Икс})}{d журнал (\frac{U_{Икс}}{U_{Y}})} знак равно \frac{\frac{d (\frac{Y}{Икс})}{\frac{Y}{Икс}}}{\frac{d (\frac{U_{Икс}}{U_{Y}})}{\frac{U_{Икс}}{U_{Y}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

Меня смущают две вещи:

Почему мы просто пишем ? Что мы дифференцируем в отношении? $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
Как я могу использовать это, чтобы показать вышеупомянутое отношение?

Может кто-нибудь объяснить?

elasticity

— Стэн Шунпайк
источник

Как вывести эластичность замещения

Первый шаг - вспомнить определение дифференциала. Если у вас есть функция , скажем, , то: $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ $f(x_1,\cdots,x_n)$

d е знак равно \frac{\partial е}{\partial {Икс}_{1}} d {Икс}_{1} + \dots + \frac{\partial е}{\partial {Икс}_{N}} d {Икс}_{N},

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

Например,

d журнал v знак равно \frac{1}{v} d v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

Теперь предположим, что , тогда мы имеем $v = \tfrac{y}{x}$

d журнал (Y / Икс) знак равно \frac{d (Y / Икс)}{(Y / Икс)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

а для $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

d журнал (U_{Икс} / U_{Y}) знак равно \frac{d (U_{Икс} / U_{Y})}{(U_{Икс} / U_{Y})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

Другими словами, если вы сводите задачу к (1) пониманию определения дифференциала и (2) использованию простого изменения переменной , проблема становится очень простой.

Вы тогда получаете

σ \equiv \frac{d журнал (\frac{Y}{Икс})}{d журнал (\frac{U_{Икс}}{U_{Y}})} знак равно \frac{\frac{d (Y / Икс)}{(Y / Икс)}}{\frac{d (U_{Икс} / U_{Y})}{(U_{Икс} / U_{Y})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

В СТОРОНУ:

$d(y/x)$

d (Y / Икс) знак равно \frac{Икс d Y - Y d Икс}{{Икс}^{2}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Это имеет смысл, потому что

d журнал (Y / Икс) знак равно d журнал (Y) - d журнал (Икс) знак равно \frac{d Y}{Y} - \frac{d Икс}{Икс}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

И если вы рассчитываете

d журнал (Y / Икс) знак равно \frac{d (Y / Икс)}{(Y / Икс)} знак равно \frac{\frac{Икс d Y - Y d Икс}{{Икс}^{2}}}{Y / Икс} знак равно \frac{Икс d Y - Y d Икс}{Икс Y} знак равно \frac{d Y}{Y} - \frac{d Икс}{Икс}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

Что такое эластичность замещения?

$MRS$

— Стэн Шунпайк
источник