Что такое заменитель / дополнение с точки зрения смешанных частных производных?

10

Я пытаюсь понять, как замещаемость относится к смешанным частным производным. Я думал, что изменение предельной полезности по отношению к изменению количества будет соответствовать $x$ поэтому я запутался, когда я взял частичную часть этого относительно. Измеряет ли это скорость изменения MUотносительнопри изменении? Как это связано с тем, чтобы быть заменой?

\frac{\partial U}{\partial x}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Стэн Шунпайк
источник

Если мы начнем с основ: если

дополняет

то

y

$y$

x

$x$

. Правильно?

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— snoram

13

Здесь очень важно отметить, что существует множество взаимно непоследовательных возможностей для определения замены / дополнения.

Один из способов заключается сказать , что и являются дополняющими , если увеличение повышает предельную полезность (или, учитывая симметрию смешанных партиалов, наоборот): $x$ $y$ $y$ $x$ Это предложение в ответе foobar.

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

Другой способ - сказать, что и являются дополнениями, если снижение цены повышает хиксианский (или компенсированный) спрос на . Поскольку спрос Хиксиана является производной функции стоимости (она же расход) по лемме Шепарда , это также можно выразить как условие для смешанных частичностей: $x$ $y$ $y$ $x$ Это предложение в комментарии snoram, и это понятие более широко преподается в микроклассах.

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

Эти определения не эквивалентны! Действительно, в любом случае только с двумя товарами эти два товара должны быть заменами в соответствии с (2), независимо от того, является ли перекрестное частичное в (1) положительным или нет. $U$

Можно дать плодотворные ярлыки этим концепциям (хотя эти ярлыки чаще встречаются в случае производства, чем функций полезности). После Hicks, мы можем назвать комплементы по определению (1) Q-дополнения : если и являются Q-комплементы, увеличение количества от приводит к увеличению предельной величины . Между тем, мы можем назвать комплементы по определению (2) р-комплементы : если и являются р-комплементы, снижение цен на приводит к увеличению спроса на . Смотрите, например, $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman (1989) для краткого обзора.

Обе концепции полезны в разных ситуациях - это зависит от того, что вас интересует!

Более техническое примечание: вы можете заметить, что (1) и (2) не кажутся очень похожими друг на друга: (2) является компенсированным понятием, держащим нас на одной кривой безразличия, в то время как (1) нет. Это обоснованная критика, и действительно есть альтернативное понятие «q-дополнений», которое компенсируется, и понятие «p-дополнений», которое не компенсируется.

$x$ $y$ $U$ хотя я сам не имею его копии.) Это понятие также имеет смешанную частичную характеристику в терминах чего-то, называемого функцией расстояния, который является классным инструментом микро-теории, который никто больше не изучает; Матрица смешанных частичек функции расстояния называется матрицей Антонелли и является обобщенной обратной матрицей любимого Слуцкого.

$x$ $y$ $y$ $x$

$y$ $x$ $U$

— номинально жесткий
источник

Можете ли вы уточнить, почему уравнение 2 подразумевает, что они должны быть заменами?

— Стэн Шунпайк,

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

Да, но это прояснилось. Еще раз спасибо за еще один потрясающий ответ.

— Стэн Шунпайк,

4

$x =$ $y =$

$y$ $x$

$U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

С нашей обувью и компьютерными играми, конечно, перекрестная производная равна 0. С мороженым и ложками, это, скорее всего, положительно: наличие ложки увеличивает предельную выгоду, которую вы получаете от мороженого, следовательно, положительную взаимную корреляцию.

Наконец, подумайте о шоколаде и мороженом. Можно утверждать, что они работают как заменители (например, подумайте о пустыне): вы либо хотите одно, либо другое. Если вы получите их бесплатно , конечно, это не помешает им обоим. Но если вам приходится платить справедливые цены, вы предпочитаете заплатить цену за один из вариантов и придерживаться этого.

— FooBar
источник

U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$