Для какой функции спроса монополия наиболее вредна?

Рассмотрим фирму с нулевой предельной стоимостью. Если он дает продукт бесплатно, то весь спрос удовлетворяется, и социальное обеспечение увеличивается на максимально возможную сумму; назвать это увеличение$W$,

Но поскольку фирма является монополией, она снижает спрос и увеличивает цену, чтобы оптимизировать свои доходы. Теперь социальное обеспечение увеличивается в меньшей степени, скажем,$V$,

Определите относительную потерю благосостояния (потеря собственного веса) как: $W/V$, Это соотношение зависит от формы функции спроса. Поэтому мой вопрос: это соотношение ограничено или оно может быть сколь угодно большим? В частности:

• Если $W/V$ ограничен, то для какой функции спроса она максимизируется?
• Если $W/V$ неограниченно, то для какого семейства функций спроса оно может стать сколь угодно большим?

Вот что я попробовал до сих пор. Позволять$u(x)$быть функцией предельной полезности потребителей (которая также является обратной функцией спроса). Предположим, что оно конечно, гладко, монотонно убывает и масштабируется до области$x\in[0,1]$, Позволять$U(x)$быть его антипроизводным. Затем:

• $W = U(1)-U(0)$, общая площадь под $u$,
• $V = U(x_m)-U(0)$, где $x_m$количество, произведенное монополией. Это область под$u$ кроме части "потеря собственного веса".
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = количество, которое максимизирует доход производителя (отмеченный прямоугольник).
• $x_m$ обычно можно рассчитать, используя условие первого порядка: $u(x_m) = -x_m u'(x_m)$ .

Чтобы получить представление о том, как ведет себя , я попробовал некоторые семейства функций.$W/V$

Пусть , где - параметр. Затем:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• Условие первого порядка дает: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Когда , , поэтому для этого семейства ограничено.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Но что происходит с другими семьями? Вот еще один пример:

Пусть , где - параметр. Затем:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• Условие первого порядка дает: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Когда , снова , поэтому и здесь ограничено.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

И третий пример, который мне пришлось решать численно:

Пусть , где - параметр. Затем:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• Условие первого порядка дает: . Используя этот граф десмоса , я обнаружил, что . Конечно, это решение действительно только тогда, когда ; в противном случае мы получим и потеря дедвейта отсутствует.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Используя тот же график, я обнаружил, что уменьшается с , поэтому его верхнее значение равно , и оно составляет приблизительно 1,3.$W/V$$a$$a=2$

Есть ли другое семейство конечных функций, для которых может расти бесконечно?$W/V$

Произвольно большое соотношение должно происходить с кривой спроса

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$,

Цены монополиста на $P=1$, но излишек потребителей, если $P=0$ бесконечен, потому что область под кривой спроса содержит $\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$,