Использование математики и неточное определение терминов

Как аспирант экономики, я пытался расширить свой математический «инструментарий». При этом я разговаривал с инженерами, физиками и математиками, многие из которых презирали использование математики в экономике. Их аргументы варьируются, но одна общая тема резюмируется критикой математика Майкла Эдесса :

Экономика претендует на то, чтобы быть математикой, но это не математика. Есть большая разница. Ни один математик не использует термин в формуле или формулировку теоремы, если только этот термин не был впервые определен с мучительной точностью.

И хотя экономисты могут подумать, что они определили такие термины, как «совокупный спрос» или «экономический рост», они должны попытаться прочитать некоторую реальную математику, чтобы увидеть, что такое точное определение. Я думаю, что экономисты оставляют работу по определению исходя из того, как термины используются в формулах.

Я полагаю, что знаю точное определение (довольно многих) экономических терминов, но, возможно, Edesess указывает на некоторые более глубокие математические основы, которые я, возможно, не знаю. Может ли кто-то расширить свои аргументы и, возможно, даже противостоять?

Edesess атакует то, что на самом деле просто соломенный человек экономики. Я не уверен, что он действительно понимает поле. Начнем с того, что экономика не математика. Мы не утверждаем, что это так. Это больше «прикладная» наука. Экономисты никогда не утверждали, что эти определения точны в том смысле, в каком они есть в математике. Эти определения являются модельными конструкциями - они предназначены для прикладной работы. Их использование временно. Смысл в том, чтобы попытаться передать идею более точным способом, чем просто словами - но все знают, что они не точны, как нам хотелось бы, и не настолько точны, как в конечном счете. Они предназначены для обсуждения и уточнения. Но, как знают все прикладные ученые, вам нужно с чего-то начинать, и иногда идеи лучше всего передать с помощью более простых, хотя и менее подробных средств.

Придумывание лучших определений является огромной частью экономической науки. Рассмотрим эти примеры. Когда в 1932 году был основан Фонд Коулза, его девизом была «Теория и измерение» ( этот девиз впервые был принят в 1952 году ). Измерение не так легко сделать. В качестве другого примера, большая часть работы Ларри Котликова касалась того, что многие фискальные меры не являются экономически четко определенными понятиями.

Эйнштейн учил нас, что ни время, ни расстояние не являются четко определенными физическими понятиями. Вместо этого их измерение относительно нашей системы отсчета - как быстро мы путешествовали во вселенной и в каком направлении. Наша физическая система отсчета может рассматриваться как наш язык или соглашение о маркировке. ... Котликофф вместе с Джерри Грином из Гарварда предложил общее доказательство предположения о том, что дефицит и ряд других традиционных фискальных мер, с экономической точки зрения, не имеют содержания, заключив, что дефицит - это просто произвольный плод языка во всех экономические модели с участием рациональных агентов.

Также возьмите другой пример текущего интереса. Недавняя работа Ларса Хансена (лауреата Нобелевской премии по экономике 2013 года) была сосредоточена на сложности и постоянной неспособности определить определенные экономические концепции, включая «пузыри» и системный риск. См. Его эссе «Проблемы выявления и измерения системного риска» . Я фанат изречения, которое он передает, приписанного лорду Кельвину,

Я часто говорю, что когда вы можете измерить то, о чем говорите, выразить это в цифрах, вы кое-что знаете об этом; но когда вы не можете измерить это, когда вы не можете выразить это в цифрах, ваши знания носят скудный и неудовлетворительный характер: это может быть началом знания, но вы едва ли в своих мыслях достигли научной ступени, какими бы вопрос может быть.

Он отмечает, что «сокращенная версия появляется в здании Социологических исследований в Чикагском университете». Так что да, экономисты (как социологи) определенно относятся к этому серьезно.

Итак, дело в том, что экономисты хорошо осведомлены о проблемах в этих «определениях». Они являются частью текущих исследований в этой области; иногда их игнорируют, если люди не думают, что они первыми решают проблему; и т.д...

Экономика претендует на то, чтобы быть математикой, но это не математика.

Не дай бог, извините за мой язык. Как и во многих других научных дисциплинах, экономика использует математику, это, безусловно , не математика, и она никогда не станет математикой.

Математика может черпать вдохновение из реального мира, но затем она определяет и работает со своими концепциями, независимо от того, остаются ли они связанными с источником вдохновения.
Экономика, с другой стороны, обязана определять свои концепции таким образом, чтобы сохранить некоторую степень соответствия тем аспектам реального мира, которые она пытается изучить . И поскольку «реальный мир», который занимает экономику, - это социальный мир, полный неопределенностей и законов, которые еще никто не открыл, из этого следует, что экономика никогда не сможет достичь «мучительной точности» и оставаться актуальной . Ну и что? Экономика это не математика, мы это уже говорили. Экономика сложнеечем математика, именно потому, что она не может навязать себе такую ​​точность и оставаться полезной. Но он придерживается научного метода и поэтому вместо того, чтобы ограничиваться словесными аргументами, он пытается «математизировать» их (то есть использовать символический язык), чтобы они могли быть более прозрачными и сфокусированными в отношении своих выводов и внутренней согласованности. ,

Было бы намного проще составить словесные трактаты, что сначала потребовался бы раунд анализа семантики, а затем, если этот раунд в конце концов где-то закончился, обсудить аргумент сам по себе . Но как только мы излагаем это символическим языком, мы очищаем туман и позволяем нашим помещениям (и таким образом нашим ограничениям и недостаткам ) сиять всем, кто хочет их видеть. Это то, что я называю научной целостностью в социальных науках, и именно поэтому я считаю экономику авангардом социальных наук.

Определения в математике

Область математики - это гораздо больше, чем просто приложения. Фактически, приложения являются результатом реальной математики, которая приходит в форме доказательств и теорем. Например, в теории колец математики должны были доказать это a * 0 = 0для всех значений a. Ниже приведено доказательство: Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

Применение этого полезно для многих людей, когда используется, чтобы показать 5 * 0 = 0, но это просто результат более широкого результата, который был доказан.

Как строятся эти доказательства? Через определения. Чтобы доказать вышеуказанный результат, мы не могли предположить, что a(0 * 0) = a * 0 + a * 0; вместо этого нам нужно было использовать определение «кольца», которое по определению допускает строку (1). Точно так же нам нужно было использовать определение «кольца», чтобы знать, что нам разрешено использовать -(a * 0)в строке (2).

Определения в экономике

Экономика, однако, не использует определения в том же качестве. Здесь определения используются строго для «определения терминов», а не для «отношения терминов». В экономике нельзя доказать, что в краткосрочной перспективе расширение денежной массы (которая вызывает инфляцию) приведет к снижению безработицы. Определения в экономике не созданы для этого; тем более, они не могут этого сделать.
Частично причина, по которой определения в экономике не могут этого сделать, заключается в определениях. Подумайте о терминах «хорошо», «рынок» и «спрос». Все эти термины имеют небрежные определения. Они на самом деле не относятся ни к чему другому. С другой стороны, у нас есть такие термины, как «валюта» и «ВВП», которые имеют обширные и точные определения. Эти определения были выбраны целенаправленно, и измерения «валюта» и «ВВП» являются точными из-за этого.
Другая часть того, почему у экономики есть «плохие» определения, связана с изучением самой экономики. Экономика сильно зависит от спроса людей. Это требование не может быть определено количественно, и нет никаких гарантий, что оно будет оставаться неизменным от одного момента к другому. Таким образом, нет никакого реального способа построить доказательство, которое будет истинным вне какого-либо конкретного момента. Из-за этого экономика не нуждается в строгих определениях. В математике, однако, мы можем строить доказательства независимо от используемых нами чисел и, таким образом, преодолевать ограничения вплоть до очень широкого контекста. В приведенном выше доказательстве мы использовали aвместо числа, чтобы нам не приходилось полагаться на использование этого числа и только этого числа. Используя a, мы знаем, что умножение любого числа на 0даст нам 0.

Ответ на Edesess

Edesess в основном (вероятно, 95%) правильно. По правде говоря, большинство определений экономики не «точно определены» на том же уровне, на котором должны быть математические определения. В математике определения тщательно рассматриваются и решаются математическим сообществом в целом (не говоря уже об экономических определениях, но это вне моих знаний). Кроме того, по природе экономики использование определений не может быть использовано для доказательства чего-либо.
Однако в ответ на Edesess экономику не следует рассматривать как математику из-за фундаментальных различий в том, как они делают открытия. Экономика продвигается через опросы, рыночные данные, графики спроса и предложения; Математике способствуют исследования, доказательства и теоремы.

Критика Edesess, упускает суть. Реальность гораздо глубже, чем простое неправильное использование математических определений.

Правдивость математического утверждения сильно зависит от способности отследить любые определения, используемые для аксиоматического логического уровня. В этом смысле нельзя было бы найти математика, дико использующего определения, которые не могут быть сведены к математически / логически истинной совокупности знаний, которая уже существует. Но это констатирует очевидное.

В прикладных областях науки (биология, медицина, машиностроение и т. Д.) Каждый начинает с реальной проблемы (проблемной области) или явления и моделирует проблему на языке математики. Цель состоит в том, чтобы решить / изучить / смоделировать математическую задачу, чтобы иметь возможность что-то сказать о реальной проблеме.

Критика на самом деле о математическом-лизации экономики (которая началась с Самуэльсон в 50 - х 60 -х годов). Утверждение состоит в том, что некоторые экономисты осуществляют преобразование в математическую область и упускают из виду исходную проблему и никогда не переходят обратно в проблемную область (то есть взаимодействие людей, фирм, ресурсов и т. Д.). Эти экономисты кажутся довольными формулировкой линейных алгебраических отношений или решением векторных авторегрессивных уравнений без эмпирического обоснования - или, что еще хуже, - утверждают, что такая экономика выше краткосрочных соображений (т.е. моя теория не может быть сфальсифицирована ни в одном из наших воплощений).

Есть много примеров этого. Одной из очевидных является так называемая теория общего равновесия, которая не только была продемонстрирована математически ошибочной (через множественные равновесия (см. Sonnenschein, Mantel, теорема Дебре) в 1970-х годах), но и предположила отсутствие какого-либо эмпирического содержания. В результате некоторые экономисты предпочитают оставаться в области математического анализа - возможно, в погоне за более точной моделью (вычислимая GE, динамическая GE, стохастическая GE, динамическая стохастическая GE и т. Д. И т. Д.) - отсюда неправильно понимаемая критика, которую экономисты маскируют под математиков , Можно привести пример, когда таких людей более точно называют псевдоматематиками, маскирующимися под экономистов (в смысле проблемной области).