Маршаллианский спрос на Кобба-Дугласа

При попытке максимизировать полезность, имеющую функцию полезности Кобба-Дугласа , с , я нашел следующие формулы ( Википедия: Маршалловское требование ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

В одной из моих книг я также нахожу эти формулы для той же цели:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

С : цены на товары; : бюджет $p_i$ $m$

Я проверил их все, и они дали одинаковые результаты.
Так есть ли различия?

— user1170330
источник

это относится к исключительно? к

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

Можете ли вы исправить некоторые обозначения? Во втором примере a и b являются показателями в функции полезности x1 и x2? Они составляют 1? Является ли y в первой задаче таким же, как m во второй?

— BKay

@Jamzy: Да, это так.

— user1170330

@BKay: Пожалуйста, смотрите мои обновленные записи.

— user1170330

Ответы:

Поскольку уравнения в точности совпадают. Подстановка для с в третьем и четвертом уравнениях дает первое и второе уравнения. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
источник

Можно ли редактировать эти формулы для работы с такой утилитой, как ? Так с дополнительным номером перед ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— user1170330

Я предлагаю задать это как новый вопрос.

— BKay

Что если ? Должен ли я использовать формулы 3 и 4 в этом случае?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— user1170330

@ user1170330 если все еще работает

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

Вот как вы переходите от своего первого уравнения ко второму. Ваша функция полезности - это так как я немного изменю ее на a и (1-a). Чтобы оптимизировать эти два варианта, вам нужно максимизировать полезность , по вашему выбору переменных. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

подлежит с использованием закона Вальраса. В основном, чтобы оптимизировать утилиту, все деньги будут потрачены. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Функции Кобба-Дугласа обычно трудны для задач оптимизации. Можно использовать монотонное преобразование, которое сохраняет порядковые свойства функции.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Это будет использоваться вместо. Будет применяться то же бюджетное ограничение.

Условия Лагранжа и первого порядка приведены ниже

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

манипулирование условиями первого порядка приводит к

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

подстановка в бюджетное ограничение $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Используя эти результаты, мы можем определить оптимальные пакеты потребления и для данной комбинации цены и богатства. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
источник