Преимущество над лотереями без аксиомы независимости

Предположим, набор $N$результаты могут быть ранжированы в следующем порядке: . Кроме того, предположим, что лицо, принимающее решение, имеет преимущество перед лотереями по сравнению с этими результатами. Предположим, что предпочтение над лотереями является рациональным, непрерывным, но не обязательно совместимым с аксиомой независимости .$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Следует ли из этого, что лучшей лотереей в этом случае является вырожденная лотерея ?$(1,0,\dots,0)$

Что, если аксиома независимости нарушается ?

Нет, не обязательно Без аксиомы независимости (или чего-то еще, что заменит ее) вы не сможете сделать вывод о предпочтениях по сравнению с (невырожденными) лотереями, зная, что предпочтения имеют только результаты.

Например, пусть будет вероятностью исходов . Тогда предпочтения над лотереями представлены функцией полезности$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

непрерывны и рациональны, но не удовлетворяют аксиоме независимости. Для достаточно большой, это даже не тот случай, когда является лучшей лотереей, хотя и .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Чтобы понять почему, соблюдайте это

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Однако, для ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

Нарушение аксиомы независимости можно увидеть из того факта, что, когда ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

хотя

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$