Матрица перехода: дискретная -> непрерывное время

У меня есть код, соответствующий Tauchen (1986) (эквивалент этого в Python ), который генерирует дискретное приближение процесса AR (1) с дискретным временем.

Например, если вы установите размер сетки как 3, это даст вам вектор производительности

[A_1, A_2, A_3,]

и матрица переходных вероятностей

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

Где строка i, столбец jдает вам вероятность перехода от iк j, и он удовлетворяет тому, что сумма каждой строки приблизительно равна единице.

Мне интересно, как я могу преобразовать это в непрерывный эквивалент времени матрицы перехода; набор пуассоновских вероятностей, управляющих расходами между состояниями.

Все, что я помню в этом отношении, - это то, что мы можем получить линейное приближение к вероятностям Пуассона, используя

$$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$$

Но я не вижу, как это помогает мне преобразовать эту бывшую матрицу в $\lambda$ s ... Я с нетерпением жду любого предложения.

Предположим, что представляет собой матрицу скоростей Пуассона, где для обозначает скорость, с которой состояние переходит в состояние , а дает скорость в каком состоянии перехожу во все другие состояния. Каждый ряд суммирует до 0.$B$$n\times n$$B_{ij}\geq 0$$i\neq j$$i$$j$$B_{ii}\leq 0$$i$$B$

Тогда, если обозначает распределение вероятности в момент времени , по определению мы имеем ODE Мы знаем, как выглядит решение этого вида ODE: , где является матрицей экспоненциальное из . Таким образом, если мы хотим , чтобы создать марковской матрицу перехода после , нам нужно иметь .$p(t)$$t$$B$

$$\dot{p}(t) = Bp(t)$$ $p(t)=e^{Bt}p(0)$$e^{Bt}$$Bt$$B$$A$$t=1$$e^B=A$

В принципе, чтобы получить , мы должны инвертировать матрицу экспоненты, принимая матрицу логарифм от . Проблема состоит в том, что каждая матрица имеет много матричных логарифмов - логарифм в одномерном комплексном пространстве имеет бесконечно много ветвей, и это усложняется, когда мы говорим о матрицах в мерном пространстве. Большинство из этих логарифмов не будут удовлетворительными матрицами перехода Пуассона: возможно, они не будут действительными или записи не будут иметь правильных знаков. Тем не менее, возможно, что их будет больше одного: в некоторых случаях более одного Пуассона соответствует марковскому , так же как в некоторых случаях нет Пуассона$B$$A$$n$$B$$A$$B$соответствующая . Это грязно.$A$

К счастью, есть ситуация, когда жизнь относительно проста, и она почти наверняка включает в себя ваш собственный случай: когда все собственные значения являются положительными, отличными действительными значениями$A$ . В этом случае существует только один логарифм который будет действительным, и его легко вычислить: вы просто диагонализируете матрицу как и берете действительный логарифм собственных значений, получая , где . В самом деле, вам не нужно делать это самостоятельно: если вы используете команду в Matlab (предположительно Python тоже), это даст вам именно это .$A$$A=V\Sigma V^{-1}$$B=V\Omega V^{-1}$$\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$$\text{logm}(A)$$B$

Учитывая это , все, что вам нужно сделать, это проверить, что это на самом деле матрица Пуассона. Первое требование, что все строки суммируются в ноль, выполняется автоматически благодаря конструкции ** Второе требование, что диагональные элементы отрицательны, а недиагональные элементы положительны, не всегда выполняется (я думаю, ), но это легко проверить.$B$$B$

Чтобы увидеть это в действии, я рассмотрю для марковского процесса с 3 состояниями, который напоминает дискретизированный AR (1). Теперь, если я в Matlab, я get Это действительно допустимая матрица перехода Пуассона, так как мы можем легко проверить, что строки суммируются до нуля и имеют правильные знаки - таков наш ответ.$A$

$$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$$ $B=\text{logm}(A)$ $$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$$

Случай с положительными собственными значениями довольно важен, поскольку он охватывает все случаи, когда в цепочке Маркова нет какого-либо колебательного поведения (что потребовало бы отрицательных или сложных собственных значений), предположительно включая ваш дискретизированный AR (1).

В более общем смысле команда на Matlab даст нам логарифм главной матрицы, аналог основного скалярного логарифма, который принимает все собственные значения для мнимой части между и . Проблема заключается в том, что это не обязательно логарифм мы хотим, и, глядя на него , мы могли бы пропустить Пуассон , который делает генерировать . (Вот почему случай с положительным собственным значением, когда нам не нужно было об этом беспокоиться, был так хорош.) Тем не менее, даже в этих других случаях не помешает попробовать и посмотреть, работает ли он.$\text{logm}$$-\pi$$\pi$$B$$A$

Кстати, проблема определения того, существует ли , порождающий некоторую марковскую матрицу , широко изучалась. Это называется проблемой встраиваемости : посмотрите обзор и ссылки в этой превосходной обзорной статье Дэвиса . Я не эксперт по техническим аспектам проблемы, хотя; Этот ответ основан больше на моем собственном хакерском опыте и интуиции.$B$$A$

Я чувствую себя обязанным завершить, поддержав комментарий ecksc и сказав, что, возможно, существуют более совершенные и более прямые способы преобразования дискретно подобранного AR (1) в процесс с конечным состоянием и непрерывным временем - вместо того, чтобы просто брать матрицу, полученную методом Таучена, и делая это непрерывным. Но я лично не знаю, что это за лучший способ!

---

** Объяснение (хотя я и ржавый): имеет уникальное собственное значение Перрона-Фробениуса, равное 1, и, поскольку стохастический, правый собственный вектор этого собственного значения является единичным вектором . Это все еще правильный собственный вектор, теперь с собственным значением 0, когда мы берем матричный логарифм.$A$$A$$e$

Не могу прокомментировать, или я бы сначала попросил больше подробностей. Если вы пытаетесь преобразовать процесс AR (1), сопоставленный с дискретным временным рядом, в непрерывный временной процесс, я нашел соответствующий ресурс здесь на странице 4.

Вычисления предоставлены для оценки коэффициентов процесса CAR (2) из ​​процесса AR (2), но, конечно, вы можете заменить 0 вторым коэффициентом, чтобы получить свое преобразование.

Если вы пытаетесь преобразовать цепочку Маркова с дискретным временем в непрерывное время, это будет сложнее, и мне придется еще немного почитать, прежде чем я смогу оказать дополнительную помощь. :) А пока вот несколько хороших материалов для чтения, которые я нашел относительно цепей Маркова с непрерывным временем.