Так как мы подозреваем решение угла, лучше написать проблему явно с ее ограничением. Еще лучше использовать Fritz John ( FJ ) условия, а не Каруш-Кун-Такер ( ККТ ) те. Мы будем упоминать различия по мере продвижения.
$$ \ max _ {\ alpha} \ int u [w + \ alpha (z-1)] dF (z), \; \; \ Текст {s.t.} \; \; w- \ alpha \ geq 0 $$
Лагранжиан по формулировке Фрица Джона
$$ L_ {FJ} = \ lambda_0 \ int u [w + \ alpha (z-1)] dF (z) \; + \; \ Lambda_1 (w- \ альфа) $$
Новым элементом является множитель целевой функции $ \ lambda_0 $. Без потери общности мы можем уточнить
$$ \ lambda_0 \ in \ {0,1 \}, \; \; \ lambda_0 + \ lambda_1 \ neq 0 $$
Что мы получаем здесь по сравнению с гораздо более широко известными и используемыми ККТ -условиям?
Если решение требует, чтобы $ \ lambda_0 = 1 $, мы получаем ККТ условия с удовлетворением ограничения , Если решение требует, чтобы $ \ lambda_0 = 0 $, оно отражает, среди других особых случаев, случай, когда квалификация ограничения не выполняется.
(Стандартный пример - это случай, когда возможный набор для $ \ alpha $
был сведен к одной точке из-за наложенных ограничений.
Тогда мы обнаружим, что единственное решение диктует, что $ \ lambda_0 = 0 $,
который имеет интуитивное объяснение: если $ \ alpha $ может взять один и только
одно значение из-за ограничений, то целевая функция "играет
нет роли "в определении $ \ alpha $, и поэтому он получает ноль
множитель).
Вернемся к нашей проблеме. Первое условие заказа
$$ \ frac {\partal L_ {FJ}} {\partal \ alpha} = \ lambda_0 \ int u '[w + \ alpha (z-1)] \ cdot (z-1) dF (z) - \ lambda_1 \ leq 0 $$
(обратите внимание на «меньше или равно нулю», которое имеет место при оптимизации в условиях неравенства, а не просто «равно»).
Сначала мы установим, что $ \ alpha ^ * & gt; 0 $. Из-за $ u '& gt; 0 $ и (строгой) выпуклости функции полезности, $ u' '& gt; 0 $ и предположения, что $ E (z) & gt; 1 $ мы имеем (используя неравенство Дженсена)
$$ E [u (w + \ alpha (z-1))] & gt; u (w + \ alpha (E (z) -1))] & gt; u (w + 0 \ cdot (E (z) -1)) = u (w) $$
Обратимся теперь к рассмотрению дел. Поскольку оба множителя не могут быть равны нулю, а $ \ lambda_0 $ принимает только два значения, возможны три комбинации.
Изучите случай $ \ lambda_0 = 1 $.
Тогда $ \ lambda_1 $ в принципе может быть нулевым или положительным. Изучите случай, когда $ \ lambda_1 = 0 $, то есть ограничение не является обязательным, что подразумевает, что $ \ alpha ^ * & lt; ж $. С этой парой кандидатов множителей, $ \ {\ lambda_0 = 1, \ lambda_1 = 0 \} $, условие первого порядка станет
$$ \ int u '[w + \ alpha (z-1)] \ cdot (z-1) dF (z) \ leq 0 \ Rightarrow E (zu') - E (u ') \ leq 0 $$
Так как $ u '& gt; 0 \ Rightarrow E (u') & gt; 0 $. Кроме того, так как $ E (z) & gt; 1 $ мы имеем
$$ Е ( ') & л; E (u ') E (z) \ Rightarrow E (zu') & lt; E (u ') E (z) \ Rightarrow \ text {Cov} (z, u') & lt; 0 $$
Но это не может быть выполнено, потому что, поскольку $ \ alpha ^ * & gt; 0 $ и $ u '' & gt; 0 $, мы имеем, что $ u '$ будет строго увеличиваться в $ z $. Таким образом, ковариация $ z $ и $ u '$ не может быть отрицательной. Но тогда пара значений множителей $ \ {\ lambda_0 = 1, \ lambda_1 = 0 \} $ не может быть решением, и это происходит из-за предположения $ u '' & gt; 0 $.
Мы остались с делами
$ \ {\ lambda_0 = 1, \ lambda_1 & gt; 0 \} $ или $ \ {\ lambda_0 = 0, \ lambda_1 & gt; 0 \} $. В обоих этих случаях $ \ lambda_1 & gt; 0 $, т.е. ограничение является обязательным, то есть у нас будет $ \ alpha ^ * = w $. QED.
Рекомендации
Условия Фрица Джона были изложены в
" Ф. ДЖОН Экстремальные проблемы с неравенствами как побочные условия. В «Исследования и эссе, Юбилей Куранта Том» (К. О. Фридрихс, О. Е. Нойгебауэр и Дж. Дж. Стокер, ред.), С. 187-204 Wiley (Interscience), Нью-Йорк, 1948 "
и были обобщены в
" Мангасарян О. Л. & amp; Фромовиц С. (1967). Фрицу Джону необходимы условия оптимальности при наличии ограничений равенства и неравенства , Журнал математического анализа и приложений, 17 (1), 37-47.