Приложения / обобщения теоремы Дебре

Я хотел бы знать, как последняя теорема в статье Дебро «Соседние экономические агенты» (La Decision 171 (1969): 85-90; переиздано в G. Debreu, Математическая экономика: двадцать документов Жерара Дебре (1986), с. 173). -178) было использовано:

Теорема. Для топологического пространства$M$ и метрическое пространство $H$, позволять $\varphi$ быть многозначным отображением из $M$ в $H$ это компактно (то есть $\varphi(e)$ компактен для каждого $e \in M$) и непрерывно . Далее для каждого$e \in M$ позволять $\lesssim_e$быть полным предзаказом на таким, что множество замкнуто. Тогда многозначное отображение из в где$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

компактен и полунепрерывен сверху .

Отметим, что теорема выглядит аналогично известной теореме Берге о максимуме. До утверждения теоремы Дебре пишет, что ее частные случаи «неоднократно использовались в теории экономического равновесия и в теории игр», но не дает никаких ссылок; в самой статье он используется для доказательства верхней полунепрерывности соответствия спроса для агента в экономике обмена.

Меня особенно интересует, были ли какие-либо недавние применения или обобщения этой теоремы, например, для отображений, которые не являются компактными.

Вопросы: Какие есть хорошие примеры и / или ссылки на приложения приведенной выше теоремы? Было ли оно обобщено на отображения, которые не являются компактными?

Этот результат действительно является версией максимальной теоремы Берге. Если существует непрерывная функция такая, что тогда и только тогда, когда , можно получить результат напрямую из максимальной теоремы Берге. Если локально компактен, как в случае , то такую ​​функцию всегда можно найти, это следует из теоремы 1 в книге Мас-Колелла « О непрерывном представлении предзаказов» (по крайней мере, если метризуем, я не уверен в этом). Больше о таких «совместно непрерывных функциях полезности» можно найти в главе 8 « Представления порядков предпочтений».$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$1995, Bridges & Mehta.

Теперь у Дебре не было такого результата, поэтому он работал с отношениями предпочтений и, по существу, обличал теорему максимума Берге (обобщение математически просто). Почему он так сделал? Чтобы понять это, нужно понять суть статьи Дебре, которая находит топологию отношений предпочтения, которая имеет свойства nioce и делает экономическое поведение непрерывным. Необходимость в таком результате исходит из литературы по экономике с целым рядом агентов.

Что это означает, что континуум агентской экономики является пределом последовательности конечных экономик? Один из ответов заключается в том, что распределение по характеристикам агентов сходится к распределению характеристик в континуальной экономике, поэтому понятие конвергенции - это конвергенция в распределении. Для реализации этой идеи необходимо топологизировать характеристики агентов. Теперь для агента характерны его одаренность и ее предпочтения (а в более общих моделях - ее набор потребления). Существует естественная топология эндаументов, евклидова топология, но топологизировать предпочтения не так просто, и именно это сделал Дебре в своей статье. Изложение этого подхода к распределению можно найти в Hildenbrand 1974, Ядро и равновесия большой экономики .

Теперь есть случаи, когда хотелось бы применить теорему Берге для некомпактных множеств выбора. Это может быть важно при изучении экономик с бесконечномерными товарными пространствами, в которых замкнутость и ограничение не подразумевают компактность. Один из способов решения этой проблемы - найти компакт, чтобы соответствие было компактным и непустым, если оно ограничено этим набором. Существует большая, очень техническая литература по «обобщенным играм» или «абстрактным экономикам» (в основном игры с нормальной формой, в которых пространства стратегий зависят от действий других), и они косвенно часто содержат некомпактные обобщения теоремы Берге. Если вы можете взять в руки книгу, посмотрите главу 4 «Сянь-чжи юань 1999», « Теория ККМ и приложения в нелинейном анализе»., Однако у меня сложилось впечатление, что эти результаты оказались не столь полезными в экономических приложениях. Чтобы доказать существование вальрасовских равновесий в моделях с бесконечномерными товарными пространствами, обычно используются разные методы.