Распространение равновесий по Нэшу на игры с бесконечными стратегиями

В учебнике Jehle and Reny (который я должен добавить, я мало читал за пределами нескольких интересных разделов) доказана теорема о том, что в играх с конечными стратегическими формами всегда существует (смешанное) равновесие Нэша. В книге предполагается, что у всех игроков одинаковое количество доступных действий, но нетрудно представить, как это можно распространить на случай, когда это не так.

Однако меня интересует, есть ли какое-то распространение на игры, особенно те, где возможен бесконечный выбор. Например, явно нет равновесия в игре, где игрок выигрывает, выбирая наибольшее число, но если у нас, например, та же самая игра, но где число должно быть в интервале (или любом интервале что содержит верхнюю границу), лучшие функции ответа "сходятся". Точно так же я бы также подозревал, что в конкурентных моделях должны быть «хорошо ведущие себя» функции затрат и спроса, чтобы получить «хорошие» результаты. $[0, 100]$

Таким образом, у меня есть два вопроса:

Существуют ли какие-либо четко определенные условия, в которых игра с бесконечным выбором стратегии будет иметь равновесие по Нэшу?
Каким будет релевантное чтение для этого?

game-theory reference-request

Ответы:

Да, такая настройка есть. Результатом является то, что

Если пространство стратегии каждого игрока

выпуклый

компактный

и если выплаты являются непрерывными, то существует по крайней мере одно равновесие Нэша (возможно, в смешанных стратегиях).

Это верно даже тогда, когда множество возможных действий неисчислимо бесконечно. Если дополнительно предположить, что выигрыши являются квазивогнутыми, то соответствие с наилучшими ответами будет выпуклым, даже если мы ограничим внимание чистыми стратегиями, чтобы в такой игре мы гарантировали, что в чистых стратегиях будет хотя бы одно равновесие.

Я считаю, что оригинальная ссылка здесь

И.Л. Гликсберг. « Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с применением к точкам равновесия по Нэшу ». Труды Американского математического общества , 3 (1): 170–174, 1952.

Обработка в статье Гликсберга, однако, кажется не очень доступной. Хорошей отправной точкой, скорее всего, будет раздел 1.3 книги Фуденберга и Тироля "Теория игр" .

— Вездесущий
источник

Означает ли «замкнутый и ограниченный» обязательно «выпуклый и компактный»? Я могу представить замкнутые и ограниченные области, скажем, в

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ это не будет выпуклым.

Нет, закрытое и ограниченное замечание относится к компактности: определение компакта является как замкнутым, так и ограниченным.

— Вездесущий

Правильно, извините, я неправильно прочитал размещение "и".

Фактически, цитируемая статья Гликсберга работает явно в контексте, где эта характеристика компактности не верна - в нормированном векторном пространстве, замкнутом и ограниченном в норме, подразумевается только слабая компактность.

— Майкл

@densep В игре с соответствующими копейками доступные действия являются дискретными, и поэтому в игре есть невыпуклое пространство стратегии, поэтому первое условие в приведенном выше утверждении не выполняется.

— Вездесущий

В то время как компактность и выпуклость все еще необходимы, следующая ссылка касается существования в играх векторного пространства с определенными типами разрывов.

Рени, П. (1999) "О существовании чистых и смешанных стратегий равновесия Нэша в прерывных играх", Econometrica 67, 1029-1056

— Адамский
источник