Как я могу получить производственную функцию Леонтьева и Кобба-Дугласа из функции CES?

В большинстве учебников по микроэкономике упоминается, что производственная функция постоянной эластичности замещения (CES),

$$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(где эластичность замещения равна ), имеет свои пределы как производственную функцию Леонтьева, так и функцию Кобба-Дугласа. В частности,$\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

а также

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Но они никогда не дают математического доказательства этих результатов.

Может ли кто-нибудь предоставить эти доказательства?

Кроме того, вышеупомянутая функция CES включает в себя постоянные возвраты в масштабе (однородность степени один), поскольку внешний показатель равен $-1/\rho$ . Если бы это было, скажем, $-k/\rho$ , то степень однородности была бы $k$ .

Как влияют на предельные результаты, если $k\neq 1$ ?

Доказательства, которые я приведу, основаны на методах, имеющих отношение к тому факту, что производственная функция CES имеет форму обобщенного взвешенного среднего .
Это использовалось в оригинальной статье, где была введена функция CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961). Капитал-трудовое замещение и экономическая эффективность. Обзор экономики и статистики, 225-250.
Там авторы направили своих читателей к книге Харди Г.Х., Литтлвуд Дж. Э. и Поля Г. (1952). Неравенства , глава .$2$

Рассмотрим общий случай

$$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Предел при$\rho \rightarrow \infty$
Поскольку нас интересует предел при мы можем игнорировать интервал, для которого , и рассматривать как строго положительный.$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Без ограничения общности предположим, что . У нас также есть . Затем мы проверяем, что имеет место следующее неравенство:$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

подняв повсюду к власти чтобы получить$\rho/k$

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ что действительно верно, учитывая предположения. Затем вернитесь к первому элементу и$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

который помещает средний член в в , так$(1)$$(1/L^{k})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Таким образом, для мы получаем основную производственную функцию Леонтьева.$k=1$

2) Предел, когда$\rho \rightarrow 0$
Напишите функцию, используя экспоненту как

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Рассмотрим разложение Маклаурина первого порядка (разложение Тейлора с центром в нуле) слагаемого внутри логарифма относительно :$\rho$

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Вставьте это обратно в и избавьтесь от внешней экспоненты,$(4)$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

В случае, если это непрозрачно, определите и переписать$r\equiv 1/\rho$

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Теперь это выглядит как выражение, предел которого в бесконечности даст нам нечто экспоненциальное:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

Степень однородности функции сохраняется, и если мы получаем функцию Кобба-Дугласа.$k$$k=1$

Именно этот последний результат , который сделал Стрелок и Ко назвать параметр «распределения» функций CES.$a$

Обычный метод получения Кобба-Дугласа и Леотифа - это правило Л'Опитала .

Также следует использовать другие методы. Установка будет возвращать и По полной производной по дифференциалам мы будем иметь При некоторых манипуляциях будет получено наше основное уравнение.$\gamma=1$$Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

$$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$$

$$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$$

Линейная функция :$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Функция Кобба-Дугласа : Взятие интеграла с обеих сторон приведет к

$$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$

$$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Леонтьевская функция :$\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$