Есть ли способ связать теорему Берге о максимуме с теоремой Оболочки?

8

Теорема Берге утверждает

Пусть , - совместно непрерывная функция, - непрерывная (оба верхнее и нижнее полунепрерывное) компактное соответствие. Функция максимизируемого значения и максимизатор имеют вид Тогда непрерывен и равен верхняя полунепрерывная. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Согласно «Экономическому анализу Вариана» (1992), стр. 490, теорема об огибающей просто:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ - максимизатор $f(\cdot, a)$ .

Мне кажется, теорема об огибающей влечет за собой теорему Берге, но вывод выглядит гораздо проще. Есть ли отношения между ними?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Эпикур
источник

Не похоже, что они заняты одной и той же целью. Берге устанавливает свойства функции значения и множества максимизаторов. Конверт посвящен тому, чтобы показать, каков эффект изменения параметра ... возможно, вы могли бы уточнить, какая связь между этими двумя интересует вас.

— Алекос Пападопулос

@AlecosPapadopoulos Извиняюсь за неопределенность моего вопроса. Теперь я узнал, что этот квест возник из моей смутной памяти о предложении 2 в Лукасе (1978). Теперь я могу сформулировать это более точно. Какие условия на функцию полезности и ограничение позволяют нам применять теорему об огибающей только после того, как мы установили непрерывность функции значения по теореме Берге? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Эпикур

Я не думаю, что вам обязательно нужно «установить непрерывность функции значения», чтобы использовать теорему об огибающей. Кажется, ключевая часть - это вопрос о контроле . См. Теорему 2 на странице Википедии. Там непрерывность V является результатом. В любом случае на странице Википедии полностью изложены теоремы. Он скажет вам, что вы должны предположить, чтобы использовать теорему. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

6

Они связаны и обычно попадают в одно и то же обсуждение, но, как упоминает @Alecos в комментариях, две теоремы показывают разные вещи.

Я предполагаю, что связь, которую вы ищете, заключается в том, что если существует производная , тогда, поскольку дифференцируемость подразумевает непрерывность, вы можете получить часть теоремы о максимуме из нее. Однако, чтобы сравнить и сопоставить две теоремы, вы не должны просто смотреть на результаты. Вы должны также посмотреть на предположения. Например, теорема о максимуме не предполагает какой-либо дифференцируемости. Теорема об оболочке делает (по крайней мере, некоторые ее формы). В любом случае допущения, входящие в каждый из них, различны (некоторые сильнее, некоторые слабее).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Также есть это. Теорема об огибающей ничего не говорит о функции управления. Следовательно, вы определенно не сможете получить результат, что является полунепрерывным сверху. $C^*$

— jmbejara
источник

4

Цитирование ОП из комментария

Какие условия на функцию полезности и ограничение позволяют нам применять теорему об огибающей только после того, как мы установили непрерывность функции значения по теореме Берге? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

В упомянутой статье Лукаса (1978) предложение 1 устанавливает, что

введите описание изображения здесь

где - функция значения, а - ее определение. Таким образом, представляется, что именно непрерывность функции Price выделена здесь как условие, но ранее в статье Лукас определяет функцию Utility как неотрицательную функцию, которая $v(z,y;p)$ $(i)$

непрерывно дифференцируемый, ограниченный, увеличивающийся и строго вогнутый

Предложение 2 статьи устанавливает дифференцируемость функции стоимости, не требуя дополнительных предположений.

— Алекос Пападопулос
источник