Что является примером функции полезности, где один товар уступает?

Скажем, у потребителя стандартное выпуклое, монотонное предпочтение по сравнению с яблоками и бананами.

(Обновление: я бы хотел, чтобы предпочтение было как можно более «стандартным». Поэтому в идеале у нас повсеместно снижается MRS, и у нас также везде «чем больше, тем лучше».)

Скажем, его предпочтение может быть представлено некоторой функцией полезности . Он должен удовлетворять некоторому бюджетному ограничению , где - его доход. $u(A,B)$ $p_AA+p_BB=y$ $y$

Тогда что является примером функции полезности, в которой , по крайней мере, при некоторых обстоятельствах? $\frac{\partial A}{\partial y}<0$

Это кажется мне очень простым вопросом, но вкратце, гуглюсь, я ничего не могу найти.

utility preferences

— Кенни ЖЖ
источник

Ответы:

Товар не может быть хуже во всем диапазоне доходов.

В статье «Удобная функция полезности с поведением Гиффена» показано, что для человека с полезностью вида:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

$\gamma_x$ $\gamma_y$ $0<\alpha_1<\alpha_2$ $x>\gamma_x$ $0\leq y<\gamma_y$

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

Я обнаружил другую функциональную форму для функции полезности, в которой один товар уступает, но у него тоже возрастает предельная полезность другого товара: неполноценный товар и новая карта безразличия

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Эта функция дает безумную карту безразличия.

Классическим примером для меня некачественных товаров являются такие вещи, как дешевая еда, где вкусная еда, которая намного дороже, вытесняет ее, потому что существует дополнительное ограничение (емкость желудка), которое в конечном итоге связывает. Должно быть легко привести пример, где неполноценность является следствием этого второго ограничения, а не функции полезности.

Обновить с другим примером:

В статье «Случай хорошего Гиффена» (Spiegel (2014)) показано, что для человека с полезностью вида: где и - постоянные и положительные значения.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Но, как и в приведенных выше функциях, эта функция полезности имеет увеличение MU в одном товаре (Y). По-видимому, это часто встречается в настройках Giffen:

В случае аддитивной функции полезности, когда предельная полезность всех товаров уменьшается с потреблением товаров, то есть предельная полезность дохода уменьшается, все товары являются нормальными и заменяют друг друга. Однако, если для какого-то товара (в нашем случае, товара Y) предельная полезность является положительной и увеличивается, а для другого товара (-ов) предельная (-ые) полезность (-и) уменьшается (в нашем случае, товар X), то предельная полезность дохода увеличивается. Товар, который демонстрирует возрастающую предельную полезность, является роскошным товаром, тогда как товар, который демонстрирует убывающую предельную полезность, является худшим товаром. Эти характеристики были подтверждены Liebhafsky (1969) и Silberberg (1972) и wen: использовались для разработки функции полезности, описанной выше, которая иллюстрирует случай товара Гиффена.

— BKay
источник

Одна проблема с этой функцией заключается в том, что это не совсем стандартная функция полезности. Как пишет сам автор, «в случае хорошего Y предельная полезность возрастает с увеличением потребления».

— Кенни ЖЖ

Если у вас есть дополнительные требования к функциональной форме, я рекомендую добавить их в свой вопрос, чтобы повысить качество получаемых ответов.

— BKay

Я сделал: я заявил, что предпочтение должно быть выпуклым.

— Кенни ЖЖ

Так ты и сделал, извини.

— BKay

Давайте продолжим эту дискуссию в чате .

— BKay

Давайте посмотрим, что означает неполноценность одного товара в случае двух товаров. Посмотрите «Структуру экономики» Зильберберга (до сих пор один из лучших учебников по экономике и экономике для студентов, когда-либо написанных), гл. 10 для более подробной информации.

Максимизация полезности описывается (звездочками обозначены оптимальные уровни)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

и обратите внимание на использование символа идентичности вместо простого равенства - эти отношения всегда держатся на оптимальном уровне. Тогда мы можем дифференцировать обе стороны и поддерживать идентичность. Сделайте это и решите систему уравнений , чтобы определить различные производные, и вы обнаружите, что если хороший уступает, , то мы должны иметь тот $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Если мы готовы принять , тогда кросс-частичное может быть нулевым, и мы можем иметь функцию полезности, аналогичную той, которая упоминается в ответе @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Но если мы хотим сохранить , то это должен быть случай, когда , кросс-частная производная функции полезности также должна быть строго отрицательной (и поэтому не нулевой). Это, в свою очередь, подразумевает предпочтения, которые не могут быть разделены , аддитивно или мультипликативно. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Возможно, вы можете рассмотреть что-то вроде

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

и все четыре параметра положительные. Например, для значений карта безразличия $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

введите описание изображения здесь

Я предполагаю, что для вы можете иметь все стандартные настройки вместе с неполноценностью (и для подходящих значений цен и других параметров, конечно). Найдите условия первого порядка, замените на в терминах в ограничении бюджета и используйте теорему о неявной функции, чтобы определить условия для параметров, требуемых для . И не забудьте проверить, совместимы ли эти условия с условиями второго порядка для максимизации полезности. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

КОММЕНТАРИЙ 7 октября 2015 г.
Мне представляется , что некоторые комментарии в этом ответе путают проблему представления предпочтений и сохранения рейтинга предпочтений при монотонных преобразованиях со свойством товара «неполноценности». Предпочтения и их представление не имеют ничего общего с существованием бюджетного ограничения. С другой стороны, «неполноценность» есть все , чтобы сделать с существованием бюджетного ограничения, и как это влияет на выбор ( не предпочтение) , как она меняется.

И монотонные трансфомрации не оставляют все «без изменений». Рассмотрим функцию полезности и ее монотонное преобразование . Легко видеть, что, хотя , мы имеем . Другими словами, монотонные преобразования могут сохранять ранжирование связок, но это не значит, что они дают одинаковые отношения между товарами. И, как я писал выше, свойство «неполноценности» зависит от знаков и относительных величин вторых частных производных используемой функции полезности, знаков и относительных величин, которые зависят от фактической используемой функциональной формы. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— Алекос Пападопулос
источник

Разве дает того же порядка предпочтения над расслоениями, как ? Это всего лишь предпочтения типа Кобба-Дугласа после того, как вы берете журнал, который должен показывать не неполноценность, а постоянные доли бюджета.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— BKay

Функции полезности @ BKay Cobb-Douglas представляют собой отдельные предпочтения. Как я писал в своем ответе, необходимо (хотя и недостаточно) иметь неразделимость, чтобы иметь возможность иметь неполноценность. И эта специфическая функциональная форма, в отличие от форм Кобба-Дугласа, обладает этим свойством неразделимости. Без логарифма это не так. Я оставляю это кому-то заинтересованному, чтобы исследовать это далее.

— Алекос Пападопулос

Просто чтобы указать, как это сделал @Bkay, является монотонным преобразованием . Таким образом, оба представляют одно и то же предпочтение.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— Кенни ЖЖ

@KenyLJ Что важно для вашего вопроса, который касается функциональных форм, которые могут отражать неполноценность, так это то, характеризуется ли функциональная форма отделимостью или нет (если вы хотите сохранить убывающие вторые производные функции полезности).

— Алекос Пападопулос

Алекос, это потрясающе. Вы говорите, что человек с точно такими же предпочтениями (какими они являются, поскольку это монотонное преобразование) может выбирать разные пакеты потребления, в зависимости от того, как бы вы написали его функцию полезности. Пожалуйста ...

Достаточно сложно найти подходящие модели с разумными / реалистичными свойствами. Общий случай хороших товаров приведен Sørensen в Heijman et al. (2012) , с. 100-3. Другой пример для двух товаров и с ограниченным доменом приведен Haagsma (2012) . Проверка там ссылок - это самый простой способ получить значительную коллекцию функций полезности для товаров низкого качества, хотя, похоже, литературы о товарах Гиффена больше, чем наименее требовательных товаров низкого качества. $n$

Что касается предыдущего обсуждения выпуклости предпочтений, то функции полезности, которые при положительном монотонном преобразовании дают разные функции спроса, не являются квазивогнутыми и, следовательно, предпочтения не являются выпуклыми, учитывая, что квазивогнутость сохраняется с любой неубывающей композицией. То, что предложенная Алекосом Пападопулосом функция не является Кобб-Дугласом, должно быть легко увидеть.
Тем не менее, если он квазивогнутый, то даст те же функции спроса (и те же эффекты цены и дохода), что и где является положительным монотонное преобразование, независимо от . будучи слабо отделим или нет Предостережения: предостережение для воздействия на области. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— user_newbie10
источник