Приведенная форма эконометрической модели, проблема идентификации и тест


7

Нужна помощь, чтобы понять следующую проблему и как использовать сокращенную форму в эконометрике

Рассмотрим модель здоровья человека:

health=b0+(b1)age+(b2)weight+(b3)height+(b4)male+(b5)work+(b6)exercise+u

Предположим, что все переменные в уравнении, за исключением упражнения, не связаны с u.

А) Запишите сокращенную форму для упражнений и укажите условия, при которых определяются параметры уравнения.

Б) Как можно проверить предположение об идентификации в части с?


Правильно ли предположить:

exercise=b0+(b1)age+(b2)weight+(b3)height+(b4)male+(b5)work+u
как уменьшенная форма?

и это условие для идентификации параметров просто

E(exercise|u)=0

и как я могу проверить это? Но кроме того, для чего это нужно?

Ответы:


3

Это очень стандартный вопрос об инструментальных переменных линейных моделей с одним уравнением. Учитывая примитивы вашего вопроса, единственной эндогенной переменной является упражнение . Чтобы ответить на этот конкретный вопрос, вам нужна экзогенная переменная z , которая удовлетворяет двум условиям:

  1. СОУ (г, и) = 0.
  2. Должна быть связь между эндогенной переменной и этой экзогенной переменной, которую вы предлагаете, но она не была частью истинной постулированной модели (структурной модели). Другими словами, с , и ортогонально всем вашим объясняющим переменным (кроме упражнений) и z.
    exercise=β0+β1age+β2weight+β3height+β4male+β5work+ϕz+εexercise
    ϕ0E(εexercise)=0

Прежде чем двигаться дальше, замечание. Под структурной моделью я подразумеваю, следуя соглашению Вулдриджа и Голдбергера, постулированную модель. То есть модель, которая устанавливает причинно-следственную связь между здоровьем и вашими ковариатами. Это ключевое различие и несогласие с предыдущими ответами.

Теперь, возвращаясь к рассматриваемой проблеме, условие 2 - это то, что в литературе по уравнениям одновременности называется уравнением приведенной формы , которое представляет собой не что иное, как линейную проекцию эндогенного на все экзогенные переменные, включая z.

Теперь подключите сокращенную форму к вашей постулированной модели, и вы получите

health=α0+α1age+α2weight+α3height+α4male+α5work+δz+ν
где , и . По определению линейной проекции, не коррелирует со всеми объясняющими переменными, и, следовательно, OLS этого последнего уравнения будет давать непротиворечивые оценки для и , а не базового в истинной модели.αi=bi+b6βi,i{1,,5}δ=b6ϕν=u+b6εexerciseναiδbi

Идентификация требует небольшого количества манипуляций в матричной форме, но по существу она сводится к так называемому условию ранга . Определите и так, чтобы ваша структурная модель была . Теперь определите . По условию 1 (cov (z, u) = 0, так что E (z, u) = 0), если умножить бот-стороны структурной модели на и ожидайте, что у вас есть Состояние ранга гласит, чтоb=(b0,,b6)x=(1,age,,exercise)health=xb+uz(1,age,,work,z)

E(zu)=0
z
E(zx)b=E(zy)
E(zx)полный ранг столбца. В этом конкретном примере и при заданных условиях на z это эквивалентно Поэтому мы имеем 6 уравнений в 6 неизвестных. Следовательно, существует единственное решение для системы, т.е. идентифицировано и равно , по желанию.rank(E(zx)=6b[E(zx)]1E(zy)

Примечания: Условие 1 полезно для получения условия момента, но модель приведенной формы с имеет решающее значение для условия ранга. Оба условия обычные.ϕ

На данный момент должно быть понятно, зачем нам это нужно. С одной стороны, без z OLS оценщик истинной модели будет давать противоречивые оценки не только для но и для всех . С другой стороны (и в некоторой степени связанные), наши параметры уникально идентифицируются, поэтому мы уверены, что оцениваем истинную причинную связь, как указано в нашей истинной модели.b6bi

Что касается тестирования, условие 2 (z и упражнение частично коррелированы) можно проверить напрямую, и вы всегда должны сообщать об этом шаге вопреки комментарию в предыдущем ответе. В отношении этого шага существует огромная литература, особенно литература о слабых инструментах.

Тем не менее, второе условие не может быть проверено напрямую. Иногда вы можете использовать экономическую теорию для обоснования или предоставления альтернативных гипотез, поддерживающих использование z.


3

Вопрос не имеет большого смысла для меня, как указано. Если проблема говорит о том, что упражнение является эндогенным (коррелирует с ошибкой), вы не можете предположить обратное в решении. Кроме того, обычно говорят о сокращенной или структурной форме в контексте оценки IV. Если упражнение является эндогенным, вам нужен инструмент для него (переменная, которая предсказывает упражнение, но не влияет на здоровье в противном случае), чтобы получить причинный эффект. Например, если некоторые люди из вашей выборки случайно выиграли купоны на членство в спортзале, это могло бы стать правильным инструментом.

Тогда предположения об идентификации будут

  1. купон действительно предсказывает упражнение

  2. купон ортогональнаu

То, что называется структурной формой, - это два уравнения: одно исходная модель, другое регрессионное упражнение на купоне и другие объясняющие переменные из исходной модели (первый этап). Уменьшенная форма будет иметь место, когда вы заменяете первую стадию на основное уравнение, поэтому вы регрессируете здоровье на возраст, вес, ..., работу и купон (но не на физическую нагрузку , как это было заменено). Сокращенная форма иногда используется для объяснения свойств оценки IV, но AFAIK не так широко используется на практике.

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.