Субмодульность собственности в заторах игр?

Пусть $G$ будет а $n$ -players и $m$ -элементов заторы игра .

Для равновесия $e$ обозначим через

S U п (е) ≜ < s U п_{1} (е), s U п_{2} (е), ..., s U п_{N} (е) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

Где содержит поддержку -го игрока, играющего (набор стратегий, в которые играю с положительной вероятностью). $sup_i(e)$ $i$ $e$ $i$

Кроме того, мы говорим, что если , то есть каждый игрок в рандомизирует свое действие на подмножестве. из действий, которые он мог бы выбрать, играя . $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ $e$ $e'$

Одним из последних определений является социальная стоимость, которая определяется как сумма затрат для игроков. $SC(e)$

Пусть два (возможно , смешанные) равновесий для . $e,e'$ $G$

Имеет ли следует ?
$S U P (e) \subseteq S U п (е^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $S С (е) \leq S С (е^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
источник

Вы хотели сказать

? Интуитивно можно подумать, что игра концентрирующего равновесия вокруг меньшего количества элементов приведет к тому, что каждый элемент будет более перегруженным.

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$

— Вездесущий

@ Вездесущий - я думаю, что это совсем наоборот. Каждый игрок концентрируется на меньшем количестве элементов, что означает, что меньше элементов использует каждый элемент. Тот факт, что каждый игрок теперь выбирает подмножество элементов, и это все еще является равновесием , может означать, что общество выигрывает от этого (в противном случае, похоже, что игрок, скорее всего, откажется от использования большего количества элементов).

— РБ

Зависит от функции стоимости (задержка). Игра в вопросе не уточнена, потому что выплаты (издержки) отсутствуют.

— Сандер Хейнсалу

Это предложение в целом не соответствует действительности . Можно показать, что это верно в случае и . Здесь я показываю встречный пример, когда и . $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

Краткий комментарий. Мы можем перефразировать вопрос в словах: это равновесие Нэша , который является «более случайным» ( по сравнению с ) является менее эффективным? Интуитивно понятно, что, когда разыгрываются более смешанные стратегии, реализованный результат становится более случайным и может быть очень неэффективным из-за отсутствия координации между агентами. Когда агенты играют чистые стратегии, мы можем думать, что мы уменьшаем проблему координации, учитывая, что мы рассматриваем равновесия Нэша. Эта интуиция не верна, если утверждение неверно, как я покажу, когда и . $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

Обозначим и два возможных действия. Функции задержки определяются следующим образом: , , и , , . Это означает, что когда $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ агенты играют (соответственно ), они получают вознаграждение (соответственно ). Это (симметричная) игра с перегрузками, если функции задержки увеличиваются. $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

Определим как равновесие , когда один агент играет и 2 агенты играют . Определим как равновесие , когда один агент , всегда играет , и 2 других играет с вероятностью и с вероятностью . Он удовлетворяет свойству . $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

Сначала покажем, что является равновесием по Нэшу. Агент, играющий , максимизирует свою выплату, учитывая стратегию двух других игроков, когда выбор лучше, чем выбор , (то есть ). Оба агента, которые играют в , играют оптимально, если (то есть ). $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ Таким образом, это равновесие по Нэшу, и его социальная стоимость равна . $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

Во-вторых, мы показываем, что является равновесием по Нэшу. С одной стороны, агент, который играет , максимизирует свою выплату, когда двое других играют смешанную стратегию, если ей лучше играть чем , $e'$ $B$ $B$ $A$ т. Е.

(1 - μ)^{2} d_{В} (3) + 2 μ (1 - μ) d_{В} (2) + μ^{2} d_{В} (1) < (1 - μ)^{2} d_{A} (1) + 2 μ (1 - μ) d_{A} (2) + μ^{2} d_{A} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

, что правда. С другой стороны, каждый из агентов, играющих смешанную стратегию, безразличен между выбором

или

если

т.е.

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{A} (2) + (1 - μ) d_{A} (1) знак равно μ d_{В} (2) + (1 - μ) d_{В} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

является равновесием по Нэшу, и его социальная стоимость составляет

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$

который равен

(1 - μ)^{2} [3 d_{В} (3)] + 2 μ (1 - μ) [d_{A} (1) + 2 d_{В} (2)] + μ^{2} [2 d_{A} (2) + d_{В} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

Наконец, мы показали, что но . Равновесие Нэша со смешанной стратегией приводит к более низким социальным издержкам, чем чисто стратегическое. $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
источник