Я продолжаю видеть термины условия первого порядка и условия второго порядка, используемые в моем экономическом классе старшекурсников по производственным функциям, монополиям и т. Д., Но я понятия не имею, что означают эти термины. Это кажется совершенно двусмысленным термином. Какие условия?
Может кто-нибудь объяснить, что означают эти термины? Если это зависит от контекста, при условии, что некоторые из них наиболее элементарные значения, которые вы ассоциируете с этим термином.
Ответы:
Предположим, у вас есть дифференцируемая функция , которую вы хотите оптимизировать, выбрав . Если - полезность или прибыль, то вы хотите выбрать (т. Е. Потребительский пакет или произведенное количество), чтобы значение как можно большим. Если является функцией стоимости, то вы хотите выбрать чтобы сделать как можно меньше. FOC и SOC являются условиями, которые определяют, максимизирует ли решение или минимизирует данную функцию.x f ( x ) x f f ( x ) x f
На уровне старшекурсников обычно бывает так, что вам нужно выбрать так, чтобы производная от была равна нулю: Это ВОК. Интуиция для этого условия состоит в том, что функция достигает своего экстремума (максимума или минимума), когда ее производная равна нулю (см. Рисунок ниже). [Вы должны знать, что в этом есть больше тонкостей: посмотрите термины «внутренние и угловые решения», «глобальный или локальный максимум / минимум» и «седловая точка», чтобы узнать больше]. f f ′ ( x ∗ ) = 0.
Однако, как показано на рисунке, простого нахождения где недостаточно, чтобы сделать вывод, что - это решение, которое максимизирует или минимизирует целевую функцию. На обоих графиках функция достигает нулевого наклона в , но является максимизатором на левом графике, но минимизатором на правом графике.f ′ ( x ∗ ) = 0 x ∗ x ∗ x ∗
Чтобы проверить, является ли максимизатором или минимизатором, вам нужен SOC. SOC для максимизатора равно а SOC для минимизатора равно Интуитивно понятно, что если максимизирует , наклон вокруг равен уменьшается. Возьмите левый график, где - максимизатор. Мы видим, что наклон положительный слева от и отрицательный справа. Таким образом, вокруг окрестности с ростом уменьшается. Интуиция для случая минимизатора аналогична.f ″ ( x ∗ ) < 0 f ″ ( x ∗ ) > 0. x ∗ f f x ∗ x ∗ f x ∗ x ∗ x f ′ ( x )
Например, когда вы говорите о максимизации прибыли, начиная с функции прибыли , основным условием максимума является то, что: Это FOC (первый условие заказа).∂ π
Тем не менее, чтобы убедиться, что то, что вы нашли выше, является истинным максимумом, вы должны также проверить «вторичное» условие, которое: Это называется SOC (условие второго порядка).
Цель состоит в том, чтобы найти локальный максимум (или минимум) функции.
Если функция дифференцируема дважды:
Если ваша функция не дифференцируема, вы можете сделать более общий экстремальный тест .
Примечание: невозможно построить алгоритм для поиска глобального максимума для произвольной функции .
Неоклассики конечно , переименовывать эти два математических методов в условиях первого порядка и условий второго порядка , чтобы выглядеть круто или по другим историческим причинам. Зачем использовать широко используемое имя, когда вы можете просто придумать его?
Термин также используется для максимизации с ограничениями, когда они используют метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Такера . Опять же, я не думаю, что этот термин используется не экономистом.