Топологические понятия в экономической теории

ВОПРОС: Каковы основные или систематические применения математики после 1960-х годов в микроэкономике?

Например, в конце 19-го века Фишер впервые использовал математические идеи Гиббса для построения современной теории полезности. В 20-м веке Мас-Колелл включил топологические идеи для изучения общего равновесия. Как насчет конца 20-го, начала 21-го века?

Например, рассмотрим теорию ориентированных графов, теорию мер, топологию, теорию категорий и современные гомологии или когомологии, методы топосов, функциональную интеграцию и т. Д.

Примечание 1 : эконометрика / статистика без моделирования исключена. Единственная современная математика, которая здесь используется, - это теория случайных блужданий и эргодическая задача, решаемая с помощью комплексного анализа. RW и EP не являются специфическими для экономики.

Любое соответствующее экономическое издание является ответом. Это также относится к тем, которые публикуются в не строго экономических журналах, например в журнале математической психологии .

Примечание 2 : Да, я знаю, этот тип работы встречается реже (не путать с мраком: некоторые из них хорошо известны). Вот что позволяет легко пропустить такую ​​ссылку, когда она публикуется. Отсюда и вопрос.

Я сильно подозреваю, что появляющейся важной областью для применения теории меры будут приближенные методы динамического программирования. Приблизительное динамическое программирование (так называемое «обучение с подкреплением» в литературе по информатике) было направлением исследовательской работы в последние 10–20 лет литературы по динамическому программированию. Экономика только сейчас начинает перенимать некоторые из этих достижений. Пример направления литературы по DP можно найти в последнем 4-м издании Берцекаса, посвященном его серии динамических программ, или в Приблизительном DP Пауэлла : решение проклятия размерности., Экономисты только начинают использовать некоторые из этих инструментов, прямо или косвенно, и я подозреваю, что они будут оказывать все большее влияние на литературу в течение следующих нескольких лет. Некоторым аналитическим фоном для сходимости этих методов является топология и динамические системы.

Хорошим примером теоретического вклада в этот вид литературы от экономистов является Pál и Stachurski (2013), «Итерация по функции с фиксированным значением с сокращениями вероятности один» (версия без шлюза здесь ). Изучите эту статью, и вы увидите важность понимания теории меры. Книга Стахурского « Экономическая динамика» на самом деле является очень хорошей экспозицией динамического программирования с этой точки зрения, построенной в темпе, который работает на нескольких уровнях аспиранта / специалиста (теория измерений приходит в конце, я считаю, - я все еще работаю над эти идеи).

Надеюсь, это в какой-то степени ответит на ваш вопрос. Я боюсь, что фраза «математика после 1960-х годов» несколько двусмысленна для меня (из-за моего собственного незнания истории математической литературы), так что, если я полностью пропустил оценку, мои извинения!

Это было слишком долго для комментариев. «Пост 1960» кажется произвольной и очень высокой планкой для прикладной области, включая микро теорию. Большинство названных вами тем не будет считаться современной математикой. Например, теория меры началась с тезиса Лебега и насчитывает более ста лет. Топология еще старше и началась с Пуанкаре, который ввел группы гомологии. Оба учатся сегодня старшекурсникам, как исчисление. (Математика, используемая Мас-Колеллом и др. В GE, является анализом, а не топологией.)

Внешность исследовательских программ, которые направляют современную математику с середины 20-го века в прикладное сообщество, в лучшем случае является косвенной. Точка зрения и методы, мотивированные, например, некоммутативной геометрией, программой Ленгланда, гипотезой Пуанкаре, гипотезой Баума-Конна, гипотезой двойного простого числа (медали Филда были награждены после 1960 г. за успехи в решении этих проблем) и т. Д. --- вероятно, никогда не будет видно за пределами математики. Математические финансы, конечно, остаются математикой, но это довольно далеко от экономической точки зрения.

Редактировать Оказывается, что, обращаясь непосредственно на ваш вопрос, было применение топологии к теории общественного выбора, инициированный Chichilnisky, и др. и др. Вот статья JET по теме тополога:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Может быть, кто-то с опытом в топологии может прокомментировать дальше.

Пространства Леба использовались для моделирования ситуаций с континуумом агентов. См. Http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf и главы Sun по экономическим приложениям в книге « Нестандартный анализ для рабочего математика» .

Теория меры широко используется в проблеме справедливого деления (так называемое «разрезание торта»). Смотрите множество статей о справедливости в экономических журналах .

В качестве конкретного примера см. Tatsuro Ichiishi и Adam Idzik, «Справедливое распределение делимых товаров», JME 1999 .

Помимо работы Чичильнского, упомянутой Майклом, еще одно интересное использование топологии в теории социального выбора появляется в работе Редекопа по теореме Эрроу об экономических областях.

• Редекоп, J. (1991). Функции социального обеспечения в ограниченных экономических сферах. Журнал экономической теории, 53, 396–427.
• Редекоп, J. (1993a). Стрелки противоречивые экономические области. Социальный выбор и благосостояние, 10, 107–126.
• Редекоп, J. (1993b). Топология анкеты на некоторых пространствах экономических предпочтений. Журнал математической экономики, 22, 479–494.
• Редекоп, J. (1993c). Функции социального обеспечения в параметрических областях. Социальный выбор и благополучие, 10, 127–148.
• Редекоп, J. (1995). Теоремы о стрелках в экономических условиях. В WA Barnett, H. Moulin, M. Salles & NJ Schofield (Eds.), Социальный выбор, благосостояние и этика (стр. 163–185). Кембридж: издательство Кембриджского университета.
• Редекоп, J. (1996). Теоремы стрелок в смешанных товарах, стохастических и динамических экономических средах. Социальный выбор и благосостояние, 13, 95–112.

Теорема о невозможности Эрроу была первоначально доказана для абстрактного набора альтернатив, позволяя каждому возможному профилю предпочтений по сравнению с этим набором альтернатив. Вопрос, который задал Редекоп (и другие), заключался в следующем: существует ли эквивалент теоремы Эрроу, когда альтернативы представляют собой наборы товаров, а агент имеет «классические» предпочтения над этими товарами (монотонный, выпуклый, непрерывный, эгоистичный, ...).

Точнее говоря, вопрос заключался в том, будет ли существовать функция социального обеспечения, удовлетворяющая трем арровским аксиомам (Независимость от нерелевантной альтернативы, слабое Парето и отсутствие диктатуры) в этих экономических областях (см. Ле Бретон, Мишель и Джон А. Веймарк ». Глава семнадцатилетняя теория социального выбора об экономических доменах. «Справочник по социальному выбору и благосостоянию 2 (2011): 191-299 для большого обзора, на котором основан этот ответ).

Грубо говоря, работа Редекопа показывает, что для некоторых из этих экономических проблем, если область предпочтений допускает функцию социального обеспечения в Аррове, область должна быть «маленькой» в некотором топологическом смысле. Например, в Redekop (1991) он вводит гениальную топологию для наборов предпочтений, которую он назвал топологией вопросника , и показывает, что в экономике общественных благ, если область предпочтений допускает функцию социального обеспечения Аррована, тогда область должна быть нигде не плотным в соответствии с этой топологией (т. е. замыкание области не содержит открытого множества).