Kőszegi - Rabin (2006) модельная проблема

Прежде всего, это домашнее задание, и я будут постарайтесь сделать его максимально полезным для будущих читателей.

проблема

Итак, передо мной была поставлена ​​задача о модели, описанной Ботондом Кёсеги и Мэтью Рабином в «Модели предпочтений, зависящих от референций» в 2006 году:

Человек занимается двумя товарами: чай ( $ c_1 \ in \ {0, 1 \} $ ), и деньги ( $ c_2 \ in R $ ). $$ c_1 = \ begin {case} 1, \ mbox {если он покупает чай} \\ 0, \ mbox {если он не покупает чай} \ end {case} $$ Его полезность потребления определяется как: $$ m (c) = v \ times c_1 + c_2 $$ Его полезность потери прибыли дается: $$ n (x | r) = \ begin {case} (x - r), \ mbox {if} x \ ge r \\ \ lambda \ times (x - r), \ mbox {if} x \ lt r \ end {} случаи $$ Чай стоит $ P_H = 30 $ ; также пусть $ v = 13, \ lambda = 4 $ ,

Есть несколько задач, но я борюсь даже с первой:

Докажите, что ориентир $ r = (c_1, c_2) = (1, -30) $ с вероятностью 1 его личное равновесие ,

Не забывайте, что в случае полезности с потерей прибыли в случае отклонения от ожиданий следует учитывать потерянную полезность - как это выглядит в полезности потребления.

Путаница 1 : Что вообще означает второе предложение и как я считаю потерянную полезность ??

Моя попытка

Прежде всего, давайте определимся с тем, что мы ищем. Согласно странице 1143 статьи:

Выбор $ \ {F_l \ in D_l \} _ {l \ in R} $ это личное равновесие (PE) если для всех $ l \ in R $ а также $ F'_l \ in D_l $ $ U (F_l | \ int F_l dQ (l)) \ ge U (F'_l | \ int F_l dQ (l)) $ ,

Итак, при условии, что вероятность равна 1, я могу избавиться от интегралов и доказать, что $ U (r | r) \ ge U (x | r) \ forall x \ ne r $ или, учитывая, что есть только два возможных варианта (верно?), что $ U ((1, -30) | (1, -30)) \ ge U ((0, 0) | (1, -30)) $ ,

Путаница 2 : у него действительно есть только два варианта, и второй вариант $ (0, 0) $ ?

Далее вычисляем $ U (r | r) $ , Согласно п. 1138 той же работы:

Мы предполагаем, что общая полезность состоит из двух компонентов: $ u (c | r) = m (c) + n (c | r) $ , где $ М (с) $ «полезность потребления», как правило, подчеркивается в экономике, и $ П (с | г) $ это «Утилита потери прибыли».

$$ U (r | r) = U ((1, -30) | (1, -30)) = m (1, -30) + n ((1, -30) | (1, -30)) $$

По той же странице:

Мы также предполагаем, что полезность потери прибыли отделима: $ n (c | r) = \ sum_ {k = 1} ^ K n_k (c_k | r_k) $ ,

Так что я могу сделать:

$$ m (1, -30) = v \ times 1 - 30 = 13 - 30 = -17 \\ n ((1, -30) | (1, -30)) = n (1 | 1) + n (-30 | -30) = (1 - 1) + (-30 + 30) = 0 \\ \ mbox {Таким образом,} U (r | r) = -17 + 0 = -17 $$

Теперь по второму варианту:

$$ U ((0, 0) | (1, -30)) = m (0, 0) + n ((0, 0) | (1, -30)) = 0 + n (0 | 1) + n ( 0 | -30) = \ лямбда \ раз (0 - 1) + (0 + 30) = 30 - \ лямбда = 30 - 4 = 26 \\ \ mbox {Таким образом,} U (x | r) = 0 + 26 = 26 $$

Путаница 3 Итак, я получил $ U (r | r) \ lt U (x | r) $ что совершенно противоположно тому, что мне нужно доказать ...

ОБНОВИТЬ

Один ученик говорит мне, что нужно умножить вторую часть утилиты потери на прибыль на $ V $ (!) получить:

$$ n (x | r) = \ begin {case} (x - r), \ mbox {if} x \ ge r \\ v \ times \ lambda \ times (x - r), \ mbox {if} x \ lt r \ end {case} $$

Так что вычисление $ U (x | r) $ Я получил:

$$ U ((0, 0) | (1, -30)) = \ lambda \ times v \ times (0 - 1) + (0 + 30) = -22 $$

... и то же самое для $ U ((1, -30) | (1, -30)) $ ,

Они также говорят, что это то, что «Не забывайте, что в полезности с потерями прибыли в случае отклонения от ожиданий следует учитывать потерянную полезность - как это выглядит в полезности потребления». часть задачи говорит мне сделать. К сожалению, я до сих пор не знаю, что означает эта часть или почему я должен размножаться только вторая часть функции по именно так $ V $ , Я имею в виду, почему вы просто измените функцию из ниоткуда?

Вопрос

Где я не прав? И почему мне нужно умножить на $ V $ и я на самом деле нужно сделать это?