Сравнительный статический вопрос с заявкой

В штате Мексас два политика (г-н Б.О., или «политик 1» и г-н Т.С., или «политик 2») активно борются за место в сенате. Два политика тратят на рекламу, чтобы увеличить число сторонников. Политический консультант считает, что оптимальные расходы на рекламу г-на Б.О., $S_{1}$ , зависят от расходов г-на Т.С. $S_{2}$ и параметра «симпатичности» $\alpha$ который влияет на популярность г-на Б.О. в Мексасе:

$$\text{Equation 1: }S_{1} = f\left ( S_{2}, \alpha \right ),$$ где $f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$дважды непрерывно дифференцируемо, $0<\frac{\partial f\left ( S_{2}, \alpha \right )}{\partial S}<1$и$0<\frac{\partial f\left ( S_{2}, \alpha \right )}{\partial \alpha}<1$для всех$S_{2} \geq 0$и всех$\alpha \geq 0$.

Оптимальные расходы политика 2 зависят от расходов $S_{1}$ политика 1 и параметра $\beta$ «покраснения» , который влияет на то, сколько людей будет придерживаться г-на TC:

$$\text{Equation 2: }S_{2} = g\left ( S_{1}, \beta \right ),$$ где $g:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ дважды непрерывно дифференцируемо, $0<\frac{\partial g\left ( S_{1}, \alpha \right )}{\partial S}<1$и$0<\frac{\partial g\left ( S_{1}, \alpha \right )}{\partial \alpha}<1$для всех$S_{1} \geq 0$и всех$\beta \geq 0$.

Значения равновесия $S_{1}$ и $S_{2}$ определяются решением уравнений (1) и (2). Предположим, что существует единственное решение $S_{1}^{*}>0$ и $S_{2}^{*}>0$ .

Обязательно ли увеличение $\alpha$ (удержание $\beta$ постоянным) обязательно увеличивает или уменьшает $S_{1}^{*}$ ? Объясните.

Моя попытка: здесь я использовал теорему о неявной функции, чтобы ответить на вопрос, поскольку мы, по сути, ищем сравнительную статику $\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }$ .

Поскольку из уравнения 2 $S_{2}^{*} = g\left ( S_{1}^{*}, \beta \right )$ , я заменил $S_{2}^{*}$ в уравнении, чтобы получить

$$S_{1}^{*} = f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \right ), \alpha \right ).$$ Тогда, поскольку $$S_{1}^{*} - f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \right ), \alpha \right ) = 0 \equiv F,$$ я могу применить теорему о неявной функции (IFT), чтобы вывести$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }$ .

Итак,

$$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\frac{\partial F}{\partial \alpha}}{\frac{\partial F}{\partial S_{1}}} = - \frac{\frac{\partial f\left ( \right )}{\partial \alpha}}{1 - \frac{\partial f \left ( \right )}{\partial g} \frac{\partial g \left ( \right )}{\partial S_{1}^{*}}} \frac{>}{<} 0.$$

Поскольку мы не знаем знак производной $\frac{\partial f \left ( \right )}{\partial g}$$\alpha$$S^{*}_{1}$

Имеет ли смысл мой ответ?

$$\text{sign}\left\{\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }\right\}$$

От

$$S_{1}^{*} - f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \right ), \alpha \right ) = 0 \equiv F$$

и теорема о неявной функции

$$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\partial F/\partial \alpha}{\partial F/\partial S^*_{1}}$$

у нас есть

$$\frac{\partial F}{\partial \alpha} = -\frac{\partial f}{\partial \alpha}$$

а также

$$\frac{\partial F}{\partial S^*_{1}} = 1-\frac{\partial f}{\partial S_2}\cdot \frac{\partial g}{\partial S^*_{1}}$$

По этим выражениям мы знаем не только знаки, но и величины. Результат следует.